はじめに
この記事では,
ゆうすい模試
の解説をしようと思います. 解答例とともに, 考え方や, 講評的なものも書いてみようと思います. 解いてくださった方々, ありがとうございました.
第1問, 第2問は簡単なので要点の説明だけにし, 第3問以降はきちんとした解答例を挙げました. これらの打ちを手伝ってくださったNRSKさんに感謝申し上げます.
第1問
は を満たすとする. 以下の極限を求めよ.
これはまあ, 計算するだけですかね... (2)はだいたい対辺の比に等しくてくらいかなって予想できるかもしれません. (3)はなんか計算ミスしてる方が多かったです.
ということで, (1)は正弦定理使って, (2)は を使って, (3)は流れからしてを考えれば良いので, 余弦定理とか使えば良いです. 簡単でしたね. 一応答えはとなります.
第2問
(1) とする. のとき が成り立つことを示せ.
(2) のとき が成り立つことを示せ.
(3) を求めよ.
初めは(3)だけで出そうと思ったのですが, さすがにあれかなと思って, 入試問題的な誘導をつけてみました. まあ誘導は面倒なだけなのでどう示しても結構です. ほとんどの方が出来ていました. 長いのでここには書きません.
お気持ちとしては, 積分区間がとても小さくなるので, だいたいとできて, 積分もだいたい くらいになるということでした. (ただし極限と積分の入れ替えは一般には出来ないので, 厳密には面倒な評価が必要になります.)
第3問
を自然数とする. の方程式
の正の解のうち最小のものをとするとき, を求めよ.
これは, 近似が分かっていれば簡単に予測できる問題でした. だいたいなのでで, くらいなので, 答はですよね.
具体的な解法としては, ひとつには左辺の和を明示する方法があります. これは多くの方がやってらして, 実際割と簡単に行きます. でもこの方法は汎用性がないので, ここでは不等式評価を利用したいと思います.
は上からはで押さえられますが, 下から次式で押さえるには割線近似が必要です. それらを駆使すると, 例えば以下のようになります.
[解答例]
左辺をとする.まずを使うと,より,を得る.
次にの上からの評価だが,の上凸性より,でを用いると,
これとから,中間値の定理でである. これでは評価が甘いのでもう1度押さえる.
再度の上凸性よりでを用いると,を得る.
以上より,
なので,としてはさみうちの原理よりである. □
第4問
を自然数とする. の方程式 はつの実数解とつの虚数解を持つので, それらを とおく(ただしは実数で). 以下の極限を求めよ.
の値をとして,
これは少し目新しい感じかもしれません. でも, 解と係数の関係を使うことさえ分かれば特に難しいことなく最後まで楽しく解けるのではないかと思います. この問題は私のお気に入りです. あまり発想は必要ないですかね. ((1)の示し方は色々なやり方があるかもしれません)
[解答例]
(1)左辺をとするとより中間値の定理からであることに注意して,
でとしてである.
(2)解と係数の関係より,
であることに注意する.
より,だから,である.
(3)とより,だから,である.
(4)より,だから,である. □
第5問
をより大きい実数とする. 平面においてとし, 動点は, が線分上にあってかつを満たすとする. が点から点まで軸上を動くときのの軌跡が囲む領域の面積をとするとき, を求めよ.
これは, 大半の方がを真面目に計算されていました. そして私はそれを見てほくそ笑んでおりました.() というのも実は, 答を予測するのにも, 厳密な評価にも, どころかの軌跡すら必要ないからです.
まずは予想の仕方としては, 図形全体を倍すると分かりやすいと思います. 即ち, としてみます. するとの軌跡はほとんど半円に近いことが分かります. なので答はです. 厳密な評価は, 適当な扇形によって外側と内側から押さえてやれば良いです.
[解答例]
題意の領域をと置く.まず,なので,は原点中心半径の上半円に含まれる.従って,である.
次に,がからまで動く間にの長さと傾きは単調増加することから,の軌跡上に軸対称な2点を取った時,中心半径の扇形はに含まれる.ここでを,の時のとすると,であり,扇形の中心角はとなるを用いて,である.従って,である.
に注意して, はさみうちの原理より,である. □
下図の赤線はのときのの軌跡である.
問5
第6問
を自然数とする. 実数に対し, 以下の最大の整数をと表すことにする. 以下で, 円周率はを満たす無理数であることを用いて良い.
(1) を満たす整数の個数をとおく. を求めよ.
(2) を満たす整数の個数をとおく. を求めよ.
これは, 厳密にやろうと思うとすると結構技巧的な方法が必要となります(厳密な証明を送って下さった方は数名でした)が, 予想だけなら, 確率みたいな考えをすれば簡単に出来ますね.
即ち, を満たすのはの小数部分が未満のときであって, の小数部分はほとんどからのランダムな値をとるので, 確率的に考えれば答もになる, というものです.
厳密な方法としては, こういう整数部分をとる系のやつは, 各に対してを考えるだけでなく, 各に対してなるの個数を考える, つまり数える方向を変えると上手くいくことが多いです. 下図のようにグラフにすると分かりやすいです.(横軸がで, 直線の下の正方形の座標がに対応)
問6
[解答例]
(1)整数に対しなるの個数をとおくと, この値はかに限られる.のうちでなるを個,なるを個とすると,である.
まず,の総数から
が成立する.さらにの総数から
が成立する.(の時のみ,になるはより大きくなり得るので,その分を不等式で評価した)
より,
だから,である.
(2)今度は組を考えると,より,これはとはなり得ないことが分かる.
のうち,これがとなるを個,となるを個,となるを個とすると,である.
まずの総数から
次に,はなるの個数に等しいから,である.についても同様だが,をカウントしないことと,になる可能性を加味して,が成立する.より,
だから,である.
最後に
まずは, ここまで読んでくださった方, 本当にありがとうございました. 楽しんでいただけたでしょうか.
やはり極限は, 第3問や第5問のような問題を感覚的に近似して予想するのが楽しいですね. また, 今回はほとんどがそうでしたが, とかの具体的な値はひとつも求まらないのに極限値だけは求まるというのも不思議で面白いですよね. (ですから第5問でを具体的に求めるのは邪道なのです!)
また気が向いたら高校数学の作問を作ろうと思います. 今回は私も十分に楽しませていただきました. それでは, ありがとうございました.