環のスペクトラムに関する（小さい）観察

以下で、「環」とは単位元を持つ可換環である。環$A$に関して、$\mathrm{Spec}A$を、$A$の素イデアルの集合とする。すると、環準同型$\phi :A\to B$に対して、写像${\phi }_{\ast }:\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A$が定義される。この写像は、以下のように考えられる。

環$A$の部分集合$\mathfrak{p}$が素イデアルであるとは、ある整域$R$が存在して、$A\to R$の核になっていることであった。

環$B$の素イデアル$\mathfrak{P}$はある整域$R$への環準同型$f:B\to R$の核であった。すると、$f\circ \phi :A\to B\to R$の核は$A$の素イデアル$\mathfrak{p}={\phi }^{-1}(\mathfrak{P})$になる。これは、環準同型$f:B\to R$の取り方によらず、写像$\mathfrak{P}\mapsto \mathfrak{p}$を定義する。