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環のスペクトラムに関する(小さい)観察

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以下で、「環」とは単位元を持つ可換環である。環Aに関して、Spec Aを、Aの素イデアルの集合とする。すると、環準同型φ:ABに対して、写像φ:Spec BSpec Aが定義される。この写像は、以下のように考えられる。

Aの部分集合p素イデアルであるとは、ある整域Rが存在して、ARの核になっていることであった。

Bの素イデアルPはある整域Rへの環準同型f:BRの核であった。すると、fφ:ABRの核はAの素イデアルp=φ1(P)になる。これは、環準同型f:BRの取り方によらず、写像Ppを定義する。

同じ考え方が、正規部分群の引き戻しなどにも適応できる。しかし、極大イデアルには適応できないので、例えばZQによる極大イデアル0Qの引き戻しは極大ではない。

投稿日:2021821
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jenta
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