2
大学数学基礎解説
文献あり

フーリエ変換からフーリエ級数と離散時間フーリエ変換と離散フーリエ変換を導出したい

302
0
$$\newcommand{eqtag}[1]{\tag{#1} \label{eq:#1}} $$

目的

Fourier 変換から出発し、複素型の Fourier 級数および離散時間 Fourier 変換を導出し、さらにそれらから離散 Fourier 変換を導出する方法を知る。なるべく step-by-step に記述するが、怪しい式操作は気にしない。

原理

下の図のように、それぞれの変換について対象となる関数の周期化や離散化を施すと別の変換を得られる。

\begin{CD} \text{Fourier 変換} @>{\text{時間領域周期化}}>{\text{周波数領域離散化}}> \text{Fourier 級数} \\ @V{\text{時間・離散}}V{\text{周波数・周期}}V @V{\text{周波数・周期}}V{\text{時間・離散}}V \\ \text{離散時間 Fourier 変換} @>{\text{周波数・離散}}>{\text{時間・周期}}> \text{離散 Fourier 級数} \end{CD}

今回は時間領域の操作を行うことで、別の変換を導出する。

また、離散 Fourier 級数を時間領域・周波数領域ともに有限の範囲に制限することで離散 Fourier 変換が得られる。

準備

今後使う武器たちを挙げておく。$j$は虚数単位である。

Fourier 変換

Fourier 変換

$t \in \mathbb{R}$で定義された$x_c(t)$について、Fourier 変換$\mathcal{F}[x_c(t)](j \Omega)$を次で定める。

$$ \mathcal{F}[x_c(t)](j \Omega) \triangleq \int_{-\infty}^\infty x_c(t) e^{-j \Omega t} dt \tag{0.1} \label{def:ft} $$

ただし、$\Omega \in \mathbb{R}$である。

逆 Fourier 変換

$\Omega \in \mathbb{R}$で定義された$X_c(j \Omega)$について、逆 Fourier 変換$\mathcal{F}^{-1}[X_c(j \Omega)](t)$を次で定める。

$$ \mathcal{F}^{-1}[X_c(j \Omega)](t) \triangleq \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty X_c(j \Omega) e^{j \Omega t} d \Omega \tag{0.2} \label{def:ift} $$

ただし、$t \in \mathbb{R}$である。

Fourier 変換対

$x_c(t), X_c(j \Omega)$が、

\begin{cases} x_c(t) = \mathcal{F}^{-1}[X_c(j \Omega)](t) \\ X_c(j \Omega) = \mathcal{F}[x_c(t)](j \Omega) \end{cases}

なる関係であるとき、それらを Fourier 変換対と呼び、次のように書く。

$$ x_c(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_c(j \Omega) $$

無限和の変換公式

Dirichlet 核の極限

次のように定義された Dirichlet 核$D_N(x)$

$$ D_N(x) \triangleq \frac{1}{2 \pi} \sum_{k = -N}^N e^{j k x} $$

について、次の関係が成り立つ。

$$\lim_{N \to \infty} D_N(x) = \frac{1}{2 \pi} \sum_{k = -\infty}^\infty e^{j k x} = \sum_{n = -\infty}^\infty \delta(x - 2 \pi n) \tag{0.3} \label{fml:dir} $$

Poisson 和公式

Fourier 変換対$x_c(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_c(j \Omega)$について、次の関係が成り立つ。

$$ \sum_{n = {-\infty}}^\infty x_c(2 \pi n) = \frac{1}{2 \pi} \sum_{k = {-\infty}}^\infty X_c(jk) \tag{0.4} \label{fml:poi} $$

\eqref{fml:poi}の一例として\eqref{fml:dir}が示せるが、むしろ\eqref{fml:poi}の証明に\eqref{fml:dir}が用いられがちなので分けることにした。

複素 Fourier 級数

導出

時間領域の周期化

実数$t$、正の実数$T$について、$\tilde{x}_c(t)$は周期$T$を持つとする。すると、適当な$x_c(t)$によって次のように表すことができる。

$$ \tilde{x}_c(t) \triangleq \sum_{r = -\infty}^\infty x_c(t - rT) \eqtag{1.1} $$

\eqref{eq:1.1}の右辺について、Fourier 変換対$x_c(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_c(j \Omega)$を考えると、逆 Fourier 変換の定義\eqref{def:ift}より、

\begin{align} \tilde{x}_c(t) &= \sum_{r = -\infty}^\infty \mathcal{F}^{-1}[X_c(j \Omega)](t - rT) \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty X_c(j \Omega) e^{j \Omega (t - rT)} d \Omega \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty X_c(j \Omega) e^{j \Omega t} e^{-j \Omega rT} d \Omega \\ &= \int_{-\infty}^\infty X_c(j \Omega) e^{j \Omega t} \left[ \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{-j \Omega rT} \right] d \Omega \eqtag{1.2} \end{align}

となる。ここで Dirichlet 核の極限\eqref{fml:dir}を思い出すと、

\begin{align} \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{-j \Omega rT} &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{j r (\Omega T)} \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty \delta(\Omega T - 2 \pi k) \\ &= \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \Omega - \frac{2 \pi}{T} k \right) \eqtag{1.3} \end{align}

であるから、\eqref{eq:1.2}に\eqref{eq:1.3}を代入して、

\begin{align} \tilde{x}_c(t) &= \int_{-\infty}^\infty X_c(j \Omega) e^{j \Omega t} \left[ \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \Omega - \frac{2 \pi}{T} k \right) \right] d \Omega \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{T} X_c(j \Omega) e^{j \Omega t} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \Omega - \frac{2 \pi}{T} k \right) d \Omega \eqtag{1.4} \end{align}

となる。ここで、デルタ関数がピークを持つ$\Omega$の近傍に注目すると、十分小さな正の実数$\varepsilon$を用いて、\eqref{eq:1.4}は、

\begin{align} \tilde{x}_c(t) &= \sum_{k = -\infty}^\infty \frac{1}{T} \int_{\frac{2 \pi}{T} k - \varepsilon}^{\frac{2 \pi}{T} k + \varepsilon} X_c(j \Omega) e^{j \Omega t} \delta \left( \Omega - \frac{2 \pi}{T} k \right) d \Omega \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty \left[ \frac{1}{T} X_c \left( j \frac{2 \pi}{T} k \right) \right] e^{j \frac{2 \pi}{T} k t} \eqtag{1.5} \end{align}

と変形できる。ここで、整数$k$について、

$$ c_k \triangleq \frac{1}{T} X_c \left( j \frac{2 \pi}{T} k \right) \eqtag{1.6} $$

と定義すると、\eqref{eq:1.5}に\eqref{eq:1.6}を代入することにより、

$$ \tilde{x}_c(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty c_k e^{j \frac{2 \pi}{T} k t} \eqtag{1.7} $$
を得る。

離散化された周波数領域

\eqref{eq:1.6}の右辺について考えると、$X_c(j \Omega)$$x_c(t)$の Fourier 変換であったから、定義\eqref{def:ft}より、

\begin{align} c_k &= \frac{1}{T} \mathcal{F}[x_c(t)] \left( \frac{2 \pi}{T} k \right) \\ &= \frac{1}{T} \int_{-\infty}^\infty x_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt \eqtag{1.8} \end{align}

となる。実数全体を幅$T$ずつ分割すると、

$$ \mathbb{R} = \sum_{r = -\infty}^\infty [-\frac{T}{2} - rT, \frac{T}{2} - rT) $$

とできるから、\eqref{eq:1.8}は、

\begin{align} c_k &= \frac{1}{T} \sum_{r = -\infty}^\infty \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_c(t - rT) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k (t - rT)} dt \\ &= \frac{1}{T} \sum_{r = -\infty}^\infty \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_c(t - rT) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} \underbrace{ e^{j 2 \pi k r} }_{=1} dt \\ &= \frac{1}{T} \sum_{r = -\infty}^\infty \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_c(t - rT) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt \\ &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \underbrace{ \left[ \sum_{r = -\infty}^\infty x_c(t - rT) \right] }_{= \tilde{x}_c(t)} e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt \\ &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt \eqtag{1.9} \end{align}

となる。

定義

Fourier 係数

$t \in \mathbb{R}$で定義され、周期が$T \in \mathbb{R}^+$である$\tilde{x}_c(t)$について、Fourier 係数$c_k$を次で定める。

$$ c_k \triangleq \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt \tag{1.10} \label{def:fs_coef} $$

ただし、$k \in \mathbb{Z}$である。

Fourier 級数

$\tilde{x}_c(t)$をFourier 係数$c_k$を用いて次のように級数展開したものをFourier 級数と呼ぶ。

$$ \tilde{x}_c(t) = \sum_{k = -\infty}^\infty c_k e^{j \frac{2 \pi}{T} k t} \tag{1.11} \label{def:fs} $$

性質

Fourier 変換対$x_c(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_c(j \Omega)$に対して、

\begin{cases} \displaystyle \tilde{x}_c(t) \triangleq \sum_{r = -\infty}^\infty x_c(t - rT) \\ \displaystyle c_k \triangleq \frac{1}{T} X_c \left( j \frac{2 \pi}{T} k \right) \end{cases}
という関係性があった。

連続的かつ周期的$\tilde{x}_c(t)$に対して、離散的な無限列$\{c_k\}$が得られる。

離散時間 Fourier 変換 (DTFT)

導出

時間領域の離散化

Fourier 変換対$x_c(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_c(j \Omega)$について考える。$n$を整数、$\varDelta t$を正の実数とし、次のように定義する。

$$ x[n] \triangleq x_c(n \varDelta t) \eqtag{2.1} $$

\eqref{eq:2.1}の右辺について、逆 Fourier 変換の定義\eqref{def:ift}より、

\begin{align} x[n] &= \mathcal{F}^{-1}[X_c(j \Omega)](n \varDelta t) \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty X_c (j \Omega) e^{j \Omega n \varDelta t} d \Omega \eqtag{2.2} \end{align}

である。ここで$\omega \triangleq \varDelta t \Omega$とおくと、\eqref{eq:2.2}は、

$$ x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty X_c \left(j \frac{\omega}{\varDelta t} \right) e^{j \omega n} \frac{1}{\varDelta t} d \omega \eqtag{2.3} $$

となる。実数全体を幅$2 \pi$ずつ分割すると、

$$ \mathbb{R} = \sum_{r = -\infty}^\infty [-\pi - 2 \pi r, \pi - 2 \pi r) $$

とできるから、\eqref{eq:2.3}は、
\begin{align} x[n] &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty \int_{-\pi}^\pi X_c \left(j \frac{\omega - 2 \pi r}{\varDelta t} \right) e^{j (\omega - 2 \pi r) n} \frac{1}{\varDelta t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty \int_{-\pi}^\pi X_c \left(j \frac{\omega - 2 \pi r}{\varDelta t} \right) e^{j \omega n} \underbrace{ e^{-j 2 \pi r n} }_{=1} \frac{1}{\varDelta t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty \int_{-\pi}^\pi X_c \left(j \frac{\omega - 2 \pi r}{\varDelta t} \right) e^{j \omega n} \frac{1}{\varDelta t} d \omega \\ &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \left[ \frac{1}{\varDelta t} \sum_{r = -\infty}^\infty X_c \left( j \frac{\omega - 2 \pi r}{\varDelta t} \right) \right] e^{j \omega n} d \omega \eqtag{2.4} \end{align}

となる。ここで、

$$ X(e^{j \omega}) \triangleq \frac{1}{\varDelta t} \sum_{r = -\infty}^\infty X_c \left( j \frac{\omega - 2 \pi r}{\varDelta t} \right) \eqtag{2.5} $$

と定義すると、\eqref{eq:2.4}に\eqref{eq:2.5}を代入することにより、

$$ x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega \eqtag{2.6} $$

を得る。

周期化された周波数領域

\eqref{eq:2.5}の右辺について、Poisson 和公式\eqref{fml:poi}を適用できて、

\begin{align} X(e^{j \omega}) &= \frac{2 \pi}{\varDelta t} \sum_{n = -\infty}^\infty \mathcal{F}^{-1} \left[ X_c \left(j \frac{\omega - 2 \pi \Omega}{\varDelta t} \right) \right](2 \pi n) \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{2 \pi}{\varDelta t} X_c \left(-j \frac{2 \pi}{\varDelta t} \left( \Omega - \frac{\omega}{2 \pi} \right) \right) \right](2 \pi n) \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty \left. \mathcal{F}^{-1} \left[ \frac{2 \pi}{\varDelta t} X_c \left(-j \frac{2 \pi}{\varDelta t} \Omega \right) \right](t) e^{j \frac{\omega}{2 \pi} t} \right|_{t = 2 \pi n} \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty \left. \mathcal{F}^{-1} [ X_c \left(j \Omega \right) ] \left( -\frac{\varDelta t}{2 \pi} t \right) e^{j \frac{\omega}{2 \pi} t} \right|_{t = 2 \pi n} \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty \left. x_c \left( -\frac{\varDelta t}{2 \pi} t \right) e^{j \frac{\omega}{2 \pi} t} \right|_{t = 2 \pi n} \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty x_c (-n \varDelta t) e^{j \omega n} \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty \underbrace{x_c (n \varDelta t)}_{= x[n]} e^{-j \omega n} \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] e^{-j \omega n} \eqtag{2.7} \end{align}

となる。

定義

離散時間 Fourier 変換

$n \in \mathbb{Z}$で定義された$x[n]$について、離散時間 Fourier 変換$\mathrm{DTFT}[x[n]](e^{j \omega})$を次で定める。

$$ \mathrm{DTFT}[x[n]](e^{j \omega}) \triangleq \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] e^{-j \omega n} \tag{2.8} \label{def:dtft} $$

ただし、$\omega \in \mathbb{R}$である。

逆離散時間 Fourier 変換

$\omega \in \mathbb{R}$で定義された$X(e^{j \omega})$逆離散時間 Fourier 変換$\mathrm{DTFT}^{-1}[X(e^{j \omega})][n]$を次で定める。

$$ \mathrm{DTFT}^{-1}[X(e^{j \omega})][n] \triangleq \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} d \omega \tag{2.9} \label{def:idtft} $$

ただし、$n \in \mathbb{Z}$である。

離散時間 Fourier 変換対

$x[n], X(e^{j \omega})$が、

\begin{cases} x[n] = \mathrm{DTFT}^{-1}[X(e^{j \omega})][n] \\ X(e^{j \omega}) = \mathrm{DTFT}[x[n]](e^{j \omega}) \end{cases}

なる関係であるとき、それらを離散時間 Fourier 変換対と呼び、次で表す。

$$ x[n] \overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j \omega}) $$

性質

Fourier 変換対$x_c(t) \overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X_c(j \Omega)$に対して、

\begin{cases} x[n] \triangleq x_c(n \varDelta t) \\ \displaystyle X(e^{j \omega}) \triangleq \frac{1}{\varDelta t} \sum_{r = -\infty}^\infty X_c \left( j \frac{\omega - 2 \pi r}{\varDelta t} \right), & \omega \triangleq \varDelta t \Omega \end{cases}

という関係性があった。

離散的$x[n]$に対して、$X(e^{j \omega})$周期的かつ連続的となり、その周期は$\omega = 2 \pi$である。

離散 Fourier 級数 (DFS)

Fourier 級数からの導出

時間領域の離散化

\eqref{eq:1.1}で定められた$\tilde{x}_c(t)$について考える。整数$n$、正の整数$N$について、次のように定義する。

$$ \tilde{x}[n] \triangleq \tilde{x}_c \left( n \frac{T}{N}\right) \eqtag{3.1.1} $$

\eqref{eq:3.1.1}の右辺について、Fourier 級数の定義\eqref{def:fs}より、適当な Fourier 係数$c_k$のもとで、

\begin{align} \tilde{x}[n] &= \sum_{k = -\infty}^\infty c_k e^{j \frac{2 \pi k}{T} \left( n \frac{T}{N} \right) } \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty c_k e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.1.2} \end{align}

となる。整数全体を$N$個ずつに分割すると、

$$ \mathbb{Z} = \sum_{r=-\infty}^\infty \{-rN, \ldots, (N-1) - rN\} $$

とできるから、\eqref{eq:3.1.2}は、

\begin{align} \tilde{x}[n] &= \sum_{r = -\infty}^\infty \sum_{k = 0}^{N-1} c_{k - rN} e^{j \frac{2 \pi}{N} (k - rN) n} \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \sum_{k = 0}^{N-1} c_{k - rN} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \underbrace{e^{-j 2 \pi r n}}_{=1} \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \sum_{k = 0}^{N-1} c_{k - rN} e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \\ &= \sum_{k = 0}^{N-1} \left[ \sum_{r = -\infty}^\infty c_{k - rN} \right] e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.1.3} \end{align}

となる。ここで、

$$ C_k \triangleq \sum_{r = -\infty}^\infty c_{k - rN} \eqtag{3.1.4} $$

と定義すると、\eqref{eq:3.1.3}に\eqref{eq:3.1.4}を代入することにより、

$$ \tilde{x}[n] = \sum_{k = 0}^{N-1} C_k e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.1.5} $$

を得る。

周期化された周波数領域

\eqref{eq:3.1.4}の右辺について考えると、Fourier 係数の定義\eqref{def:fs_coef}より、

\begin{align} C_k &= \sum_{r = -\infty}^\infty \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} (k -rN) t} dt \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} e^{j \frac{2 \pi}{T} rN t} dt \\ &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} \left[ \sum_{r = -\infty}^\infty e^{j \frac{N t}{T} 2 \pi r} \right] dt \eqtag{3.1.6} \end{align}

となる。ここで、Dirichlet 核の極限\eqref{fml:dir}より、

\begin{align} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{j \frac{N t}{T}2 \pi r} &= 2 \pi \sum_{n = -\infty}^\infty \delta \left( \frac{N t}{T}2 \pi - 2 \pi n \right) \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty \delta \left( \frac{N t}{T} - n \right) \\ &= \frac{T}{N} \sum_{n = -\infty}^\infty \delta \left( t - n \frac{T}{N} \right) \eqtag{3.1.7} \end{align}

であるから、\eqref{eq:3.1.6}に\eqref{eq:3.1.7}を代入して、

\begin{align} C_k &= \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} \left[ \frac{T}{N} \sum_{n = -\infty}^\infty \delta \left( t - n \frac{T}{N} \right) \right] dt \\ &= \frac{1}{N} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} \sum_{n = -\infty}^\infty \delta \left( t - n \frac{T}{N} \right) dt \eqtag{3.1.8} \end{align}

となる。ここで、被積分関数が周期$T$を持つことから、十分小さな正の実数$\varepsilon$を用いて積分区間を変更し、さらに積分区間においてデルタ関数がピークを持つ$t$の近傍に注目すると、\eqref{eq:3.1.8}は、

\begin{align} C_k &= \frac{1}{N} \int_{0 - \varepsilon}^{T - \varepsilon} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} \sum_{n = -\infty}^\infty \delta \left( t - n \frac{T}{N} \right) dt \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \int_{n \frac{T}{N} - \varepsilon}^{n \frac{T}{N} + \varepsilon} \tilde{x}_c(t) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} \delta \left( t - n \frac{T}{N} \right) dt \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \underbrace{\tilde{x}_c \left( n \frac{T}{N} \right)}_{= \tilde{x}[n]} e^{-j \frac{2 \pi}{T} k \left( n \frac{T}{N} \right)} \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} \tilde{x}[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.1.9} \end{align}

となる。ここで、

$$ \tilde{X}[k] \triangleq N C_k \eqtag{3.1.10} $$

と定義すると、\eqref{eq:3.1.5}、\eqref{eq:3.1.9}に\eqref{eq:3.1.10}を代入することにより、

\begin{cases} \displaystyle \tilde{x}[n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1} \tilde{X}[k] e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \\ \displaystyle \tilde{X}[k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} \tilde{x}[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.1.11} \end{cases}

を得る。

DTFT からの導出

時間領域の周期化

整数$n$、正の整数$N$について、$\tilde{x}[n]$は周期$N$を持つとする。すると、適当な$x[n]$によって次のように表すことができる。

$$ \tilde{x}[n] \triangleq \sum_{r = -\infty}^\infty x[n - rN] \eqtag{3.2.1} $$

\eqref{eq:3.2.1}の右辺について、離散時間 Fourier 変換対$x[n] \overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j \omega})$を考えると、逆 DTFT の定義\eqref{def:idtft}より、

\begin{align} \tilde{x}[n] &= \sum_{r = -\infty}^\infty \mathrm{DTFT}^{-1}[X(e^{j \omega})][n - rN] \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega (n - rN)} d \omega \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} e^{-j \omega rN} d \omega \\ &= \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} \left[ \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{-j \omega rN} \right] d \omega \eqtag{3.2.2} \end{align}

となる。ここで Dirichlet 核の極限\eqref{fml:dir}を思い出すと、

\begin{align} \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{-j \omega rN} &= \frac{1}{2 \pi} \sum_{r = -\infty}^\infty e^{j r (\omega N)} \\ &= \sum_{k = -\infty}^\infty \delta(\omega N - 2 \pi k) \\ &= \frac{1}{N} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \omega - \frac{2 \pi}{N} k \right) \eqtag{3.2.3} \end{align}

であるから、\eqref{eq:3.2.2}に\eqref{eq:3.2.3}を代入して、

\begin{align} \tilde{x}[n] &= \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} \left[ \frac{1}{N} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \omega - \frac{2 \pi}{N} k \right) \right] d \omega \\ &= \frac{1}{N} \int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \omega - \frac{2 \pi}{N} k \right) d \omega \eqtag{3.2.4} \end{align}

となる。ここで、被積分関数が周期$2 \pi$を持つことから、十分小さな正の実数$\varepsilon$を用いて積分区間を変更し、さらに積分区間においてデルタ関数がピークを持つ$\omega$の近傍に注目すると、\eqref{eq:3.2.4}は、

\begin{align} \tilde{x}[n] &= \frac{1}{N} \int_{0-\varepsilon}^{2 \pi - \varepsilon} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} \sum_{k = -\infty}^\infty \delta \left( \omega - \frac{2 \pi}{N} k \right) d \omega \\ &= \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} \int_{ \frac{2 \pi}{N} k - \varepsilon}^{\frac{2 \pi}{N} k + \varepsilon} X(e^{j \omega}) e^{j \omega n} \delta \left( \omega - \frac{2 \pi}{N} k \right) d \omega \\ &= \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left( e^{j \frac{2 \pi}{N} k} \right) e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.2.5} \end{align}

となる。ここで、整数$k$について、
$$ \tilde{X}[k] \triangleq X \left( e^{j \frac{2 \pi}{N} k} \right) \eqtag{3.2.6} $$

と定義すると、\eqref{eq:3.2.5}に\eqref{eq:3.2.6}を代入することにより、

$$ \tilde{x}[n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} \tilde{X}[k] e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.2.7} $$

を得る。

離散化された周波数領域

\eqref{eq:3.2.6}の右辺について考えると、$X(e^{j \omega})$$x[n]$の DTFT であったから、定義\eqref{def:dtft}より、

\begin{align} \tilde{X}[k] &= \mathrm{DTFT}[x[n]] \left( \frac{2 \pi}{N} k \right) \\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty x[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.2.8} \end{align}

となる。整数全体を$N$個ずつに分割すると、

$$ \mathbb{Z} = \sum_{r=-\infty}^{\infty} \{-rN, \ldots, (N-1) - rN\} $$

とできるから、\eqref{eq:3.2.8}は、

\begin{align} \tilde{X}[k] &= \sum_{r = -\infty}^\infty \sum_{n = 0}^{N-1} x[n - rN] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k (n - rN)} \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \sum_{n = 0}^{N-1} x[n - rN] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \underbrace{e^{j 2 \pi k r}}_{=1} \\ &= \sum_{r = -\infty}^\infty \sum_{n = 0}^{N-1} x[n - rN] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \\ &= \sum_{n = 0}^{N-1} \underbrace{ \left[ \sum_{r = -\infty}^\infty x[n - rN] \right] }_{=\tilde{x}[n]} e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \\ &= \sum_{n = 0}^{N-1} \tilde{x}[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{3.2.9} \end{align}

となる。

定義

離散 Fourier 係数

$n \in \mathbb{Z}$で定義され、周期$N \in \mathbb{N}^+$である$\tilde{x}[n]$について、離散 Fourier 係数$\tilde{X}[k]$を次で定める。

$$ \tilde{X}[k] \triangleq \sum_{n = 0}^{N - 1} \tilde{x}[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \tag{3.3} \label{def:dfs_coef} $$

ただし、$k \in \mathbb{Z}$である。

離散 Fourier 級数

$\tilde{x}[n]$を離散 Fourier 係数$\tilde{X}[k]$を用いて次のように有限和に展開したものを離散 Fourier 級数と呼ぶ。

$$ \tilde{x}[n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} \tilde{X}[k] e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \tag{3.4} \label{def:dfs} $$

性質

$\tilde{x}_c(t)$とその Fourier 係数$c_k$に対して、

\begin{cases} \displaystyle \tilde{x}[n] \triangleq \tilde{x}_c \left( n \frac{T}{N}\right) \\ \displaystyle \tilde{X}[k] = N \sum_{r = -\infty}^\infty c_{k - rN} \end{cases}

また、DTFT 変換対$x[n] \overset{\mathrm{DTFT}}{\longleftrightarrow} X(e^{j \omega})$に対して、

\begin{cases} \displaystyle \tilde{x}[n] \triangleq \sum_{r = -\infty}^\infty x[n - rN] \\ \displaystyle \tilde{X}[k] \triangleq X \left( e^{j \frac{2 \pi}{N} k} \right) \end{cases}
という関係性があった。

$\tilde{x}[n]$および$\tilde{X}[k]$はともに周期的かつ離散的であり、それらの周期 はともに$N$である。

離散 Fourier 変換 (DFT)

導出

周期$N$$\tilde{x}[n]$とその離散 Fourier 係数$\tilde{X}[k]$を考える。

ここで、$n \in \{0,1,\ldots,N-1\}$において、

$$ x_N[n] \triangleq \tilde{x}[n] \eqtag{4.1} $$

と定義すると、離散 Fourier 係数の定義\eqref{def:dfs_coef}に\eqref{eq:4.1}を代入することにより、

$$ \tilde{X}[k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_N[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{4.2} $$

となる。さらに、$ k \in \{0,1,\ldots,N-1\}$において、

$$ X_N[k] \triangleq \tilde{X}[k] \eqtag{4.3} $$

と定義すると、\eqref{eq:4.2}に\eqref{eq:4.3}を代入することにより、

$$ X_N[k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_N[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{4.4} $$

を得る。

同様に、離散 Fourier 級数の定義\eqref{def:dfs}に\eqref{eq:4.1}、\eqref{eq:4.3}を代入することにより

$$ x_N[n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X_N[k] e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \eqtag{4.5} $$

を得る。

定義

離散 Fourier 変換

$N \in \mathbb{N}^+, n \in \{0,1,\ldots,N-1\}$で定義された$x_N[n]$について、離散 Fourier 変換$\mathrm{DFT}[x_N[n]][k]$を次で定める。

$$ \mathrm{DFT}[x[n]][k] \triangleq \sum_{n = 0}^{N - 1} x_N[n] e^{-j \frac{2 \pi}{N} k n} \tag{4.6} \label{def:dft} $$

ただし、$k \in \{0,1,\ldots,N-1\}$である。

逆離散 Fourier 変換

$N \in \mathbb{N}^+, k \in \{0,1,\ldots,N-1\}$で定義された$X_N[k]$について、逆離散 Fourier 変換$\mathrm{DFT}^{-1}[X_N[k]][n]$を次で定める。

$$ \mathrm{DFT}^{-1}[X_N[k]][n] \triangleq \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X_N[k] e^{j \frac{2 \pi}{N} k n} \tag{4.7} \label{def:idft} $$

ただし、$n \in \{0,1,\ldots,N-1\}$である。

離散 Fourier 変換対

$x_N[n], X_N[k]$が、

\begin{cases} \displaystyle x_N[n] = \mathrm{DFT}^{-1}[X_N[k]][n] \\ \displaystyle X_N[k] = \mathrm{DFT}[x_N[n][k] \end{cases}

なる関係であるとき、それらを離散 Fourier 変換対と呼び、次で表す。

$$ x_N[n] \overset{\mathrm{DFT}}{\longleftrightarrow} X_N[k] $$

性質

$\tilde{x}[n]$とその離散 Fourier 係数$\tilde{X}[k]$に対して、

\begin{cases} x_N[n] \triangleq \tilde{x}[n], & n \in \{0,1,\ldots,N-1\} \\ X_N[k] \triangleq \tilde{X}[k], & k \in \{0,1,\ldots,N-1\} \end{cases}

という関係性があった。

結局 DFS と同じ形ではあるが、$x_N[n]$および$X_N[k]$はともに有限長$N$の列である。一連の導出の流れとしてはおまけ感がある。

参考文献

[1]
樋口 龍雄, 川又 政征, MATLAB対応 ディジタル信号処理
投稿日:2021824

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

えれ
えれ
2
391

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中