フーリエ変換からフーリエ級数と離散時間フーリエ変換と離散フーリエ変換を導出したい

目的

Fourier 変換から出発し、複素型の Fourier 級数および離散時間 Fourier 変換を導出し、さらにそれらから離散 Fourier 変換を導出する方法を知る。なるべく step-by-step に記述するが、怪しい式操作は気にしない。

原理

下の図のように、それぞれの変換について対象となる関数の周期化や離散化を施すと別の変換を得られる。

今回は時間領域の操作を行うことで、別の変換を導出する。

また、離散 Fourier 級数を時間領域・周波数領域ともに有限の範囲に制限することで離散 Fourier 変換が得られる。

準備

今後使う武器たちを挙げておく。$j$は虚数単位である。

Fourier 変換

無限和の変換公式

複素 Fourier 級数

導出

時間領域の周期化

実数$t$、正の実数$T$について、${\tilde{x}}_c(t)$は周期$T$を持つとする。すると、適当な$x_c(t)$によって次のように表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& {\tilde{x}}_c(t)\triangleq \sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_c(t-rT)\end{array}$$

$\text{(1.1)}$の右辺について、Fourier 変換対$x_c(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{X}_c(j\mathrm{\Omega })$を考えると、逆 Fourier 変換の定義$\text{(0.2)}$より、

$$\begin{array}{rl}{\tilde{x}}_c(t)& =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{F}}^{-1}[X_c(j\mathrm{\Omega })](t-rT)\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }(t-rT)}d\mathrm{\Omega }\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }t}{e}^{-j\mathrm{\Omega }rT}d\mathrm{\Omega }\\ \text{(1.2)}& & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }t}\left[\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\mathrm{\Omega }rT}\right]d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

となる。ここで Dirichlet 核の極限$\text{(0.3)}$を思い出すと、

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\mathrm{\Omega }rT}& =\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{jr(\mathrm{\Omega }T)}\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\mathrm{\Omega }T-2\pi k)\\ \text{(1.3)}& & =\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\mathrm{\Omega }-\frac{2\pi }{T}k)\end{array}$$

であるから、$\text{(1.2)}$に$\text{(1.3)}$を代入して、

$$\begin{array}{rl}{\tilde{x}}_c(t)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }t}\left[\frac{1}{T}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\mathrm{\Omega }-\frac{2\pi }{T}k)\right]d\mathrm{\Omega }\\ \text{(1.4)}& & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T}{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }t}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\mathrm{\Omega }-\frac{2\pi }{T}k)d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

となる。ここで、デルタ関数がピークを持つ$\mathrm{\Omega }$の近傍に注目すると、十分小さな正の実数$\epsilon$を用いて、$\text{(1.4)}$は、

$$\begin{array}{rl}{\tilde{x}}_c(t)& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T}{\int }_{\frac{2\pi }{T}k-\epsilon }^{\frac{2\pi }{T}k+\epsilon }{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }t}\delta (\mathrm{\Omega }-\frac{2\pi }{T}k)d\mathrm{\Omega }\\ \text{(1.5)}& & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left[\frac{1}{T}{X}_c\left(j\frac{2\pi }{T}k\right)\right]e^{j\frac{2\pi }{T}kt}\end{array}$$

と変形できる。ここで、整数$k$について、

$$\begin{array}{}\text{(1.6)}& c_k\triangleq \frac{1}{T}{X}_c\left(j\frac{2\pi }{T}k\right)\end{array}$$

と定義すると、$\text{(1.5)}$に$\text{(1.6)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(1.7)}& {\tilde{x}}_c(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{j\frac{2\pi }{T}kt}\end{array}$$
を得る。

離散化された周波数領域

$\text{(1.6)}$の右辺について考えると、$X_c(j\mathrm{\Omega })$は$x_c(t)$の Fourier 変換であったから、定義$\text{(0.1)}$より、

$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{T}\mathcal{F}[x_c(t)]\left(\frac{2\pi }{T}k\right)\\ \text{(1.8)}& & =\frac{1}{T}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt\end{array}$$

となる。実数全体を幅$T$ずつ分割すると、

$$\mathbb{R}=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[-\frac{T}{2}-rT,\frac{T}{2}-rT)$$

とできるから、$\text{(1.8)}$は、

$$\begin{array}{rl}{c}_k& =\frac{1}{T}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_c(t-rT)e^{-j\frac{2\pi }{T}k(t-rT)}dt\\ & =\frac{1}{T}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_c(t-rT)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\underset{=1}{\underbrace{e^{j2\pi kr}}}dt\\ & =\frac{1}{T}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{x}_c(t-rT)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt\\ & =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\underset{={\tilde{x}}_c(t)}{\underbrace{[\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_c(t-rT)]}}{e}^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt\\ \text{(1.9)}& & =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}dt\end{array}$$

となる。

定義

性質

Fourier 変換対$x_c(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{X}_c(j\mathrm{\Omega })$に対して、

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\tilde{x}}_c(t)\triangleq \sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_c(t-rT)}\\ {\displaystyle c_k\triangleq \frac{1}{T}{X}_c\left(j\frac{2\pi }{T}k\right)}\end{array}$$
という関係性があった。

連続的かつ周期的な${\tilde{x}}_c(t)$に対して、離散的な無限列$\{c_k\}$が得られる。

離散時間 Fourier 変換 (DTFT)

導出

時間領域の離散化

Fourier 変換対$x_c(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{X}_c(j\mathrm{\Omega })$について考える。$n$を整数、$\Delta t$を正の実数とし、次のように定義する。

$$\begin{array}{}\text{(2.1)}& x[n]\triangleq x_c(n\Delta t)\end{array}$$

$\text{(2.1)}$の右辺について、逆 Fourier 変換の定義$\text{(0.2)}$より、

$$\begin{array}{rl}x[n]& ={\mathcal{F}}^{-1}[X_c(j\mathrm{\Omega })](n\Delta t)\\ \text{(2.2)}& & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c(j\mathrm{\Omega })e^{j\mathrm{\Omega }n\Delta t}d\mathrm{\Omega }\end{array}$$

である。ここで$\omega \triangleq \Delta t\mathrm{\Omega }$とおくと、$\text{(2.2)}$は、

$$\begin{array}{}\text{(2.3)}& x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c\left(j\frac{\omega }{\Delta t}\right)e^{j\omega n}\frac{1}{\Delta t}d\omega \end{array}$$

となる。実数全体を幅$2\pi$ずつ分割すると、

$$\mathbb{R}=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}[-\pi -2\pi r,\pi -2\pi r)$$

とできるから、$\text{(2.3)}$は、
$$\begin{array}{rl}x[n]& =\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{X}_c\left(j\frac{\omega -2\pi r}{\Delta t}\right)e^{j(\omega -2\pi r)n}\frac{1}{\Delta t}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{X}_c\left(j\frac{\omega -2\pi r}{\Delta t}\right)e^{j\omega n}\underset{=1}{\underbrace{e^{-j2\pi rn}}}\frac{1}{\Delta t}d\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\pi }^{\pi }{X}_c\left(j\frac{\omega -2\pi r}{\Delta t}\right)e^{j\omega n}\frac{1}{\Delta t}d\omega \\ \text{(2.4)}& & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\left[\frac{1}{\Delta t}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c\left(j\frac{\omega -2\pi r}{\Delta t}\right)\right]e^{j\omega n}d\omega \end{array}$$

となる。ここで、

$$\begin{array}{}\text{(2.5)}& X(e^{j\omega })\triangleq \frac{1}{\Delta t}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c\left(j\frac{\omega -2\pi r}{\Delta t}\right)\end{array}$$

と定義すると、$\text{(2.4)}$に$\text{(2.5)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(2.6)}& x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega \end{array}$$

を得る。

周期化された周波数領域

$\text{(2.5)}$の右辺について、Poisson 和公式$\text{(0.4)}$を適用できて、

$$\begin{array}{rl}X(e^{j\omega })& =\frac{2\pi }{\Delta t}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{F}}^{-1}\left[X_c\left(j\frac{\omega -2\pi \mathrm{\Omega }}{\Delta t}\right)\right](2\pi n)\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{F}}^{-1}\left[\frac{2\pi }{\Delta t}{X}_c(-j\frac{2\pi }{\Delta t}(\mathrm{\Omega }-\frac{\omega }{2\pi }))\right](2\pi n)\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{{\mathcal{F}}^{-1}\left[\frac{2\pi }{\Delta t}{X}_c(-j\frac{2\pi }{\Delta t}\mathrm{\Omega })\right](t)e^{j\frac{\omega }{2\pi }t}|}_{t=2\pi n}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{{\mathcal{F}}^{-1}[X_c\left(j\mathrm{\Omega }\right)](-\frac{\Delta t}{2\pi }t)e^{j\frac{\omega }{2\pi }t}|}_{t=2\pi n}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x_c(-\frac{\Delta t}{2\pi }t)e^{j\frac{\omega }{2\pi }t}|}_{t=2\pi n}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}_c(-n\Delta t)e^{j\omega n}\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\underset{=x[n]}{\underbrace{x_c(n\Delta t)}}{e}^{-j\omega n}\\ \text{(2.7)}& & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\omega n}\end{array}$$

となる。

定義

性質

Fourier 変換対$x_c(t)\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}{X}_c(j\mathrm{\Omega })$に対して、

$$\{\begin{array}{l}x[n]\triangleq x_c(n\Delta t)\\ {\displaystyle X(e^{j\omega })\triangleq \frac{1}{\Delta t}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{X}_c\left(j\frac{\omega -2\pi r}{\Delta t}\right),}& \omega \triangleq \Delta t\mathrm{\Omega }\end{array}$$

という関係性があった。

離散的な$x[n]$に対して、$X(e^{j\omega })$は周期的かつ連続的となり、その周期は$\omega =2\pi$である。

離散 Fourier 級数 (DFS)

Fourier 級数からの導出

時間領域の離散化

$\text{(1.1)}$で定められた${\tilde{x}}_c(t)$について考える。整数$n$、正の整数$N$について、次のように定義する。

$$\begin{array}{}\text{(3.1.1)}& \tilde{x}[n]\triangleq {\tilde{x}}_c\left(n\frac{T}{N}\right)\end{array}$$

$\text{(3.1.1)}$の右辺について、Fourier 級数の定義$\text{(1.11)}$より、適当な Fourier 係数$c_k$のもとで、

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}[n]& =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{j\frac{2\pi k}{T}\left(n\frac{T}{N}\right)}\\ \text{(3.1.2)}& & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。整数全体を$N$個ずつに分割すると、

$$\mathbb{Z}=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{-rN,\dots ,(N-1)-rN\}$$

とできるから、$\text{(3.1.2)}$は、

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}[n]& =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{N-1}{c}_{k-rN}{e}^{j\frac{2\pi }{N}(k-rN)n}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{N-1}{c}_{k-rN}{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}\underset{=1}{\underbrace{e^{-j2\pi rn}}}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^{N-1}{c}_{k-rN}{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}\\ \text{(3.1.3)}& & =\sum _{k=0}^{N-1}\left[\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k-rN}\right]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。ここで、

$$\begin{array}{}\text{(3.1.4)}& C_k\triangleq \sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k-rN}\end{array}$$

と定義すると、$\text{(3.1.3)}$に$\text{(3.1.4)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(3.1.5)}& \tilde{x}[n]=\sum _{k=0}^{N-1}{C}_k{e}^{j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

を得る。

周期化された周波数領域

$\text{(3.1.4)}$の右辺について考えると、Fourier 係数の定義$\text{(1.10)}$より、

$$\begin{array}{rl}{C}_k& =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}(k-rN)t}dt\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}{e}^{j\frac{2\pi }{T}rNt}dt\\ \text{(3.1.6)}& & =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\left[\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j\frac{Nt}{T}2\pi r}\right]dt\end{array}$$

となる。ここで、Dirichlet 核の極限$\text{(0.3)}$より、

$$\begin{array}{rl}\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{j\frac{Nt}{T}2\pi r}& =2\pi \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\frac{Nt}{T}2\pi -2\pi n)\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\frac{Nt}{T}-n)\\ \text{(3.1.7)}& & =\frac{T}{N}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n\frac{T}{N})\end{array}$$

であるから、$\text{(3.1.6)}$に$\text{(3.1.7)}$を代入して、

$$\begin{array}{rl}{C}_k& =\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\left[\frac{T}{N}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n\frac{T}{N})\right]dt\\ \text{(3.1.8)}& & =\frac{1}{N}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n\frac{T}{N})dt\end{array}$$

となる。ここで、被積分関数が周期$T$を持つことから、十分小さな正の実数$\epsilon$を用いて積分区間を変更し、さらに積分区間においてデルタ関数がピークを持つ$t$の近傍に注目すると、$\text{(3.1.8)}$は、

$$\begin{array}{rl}{C}_k& =\frac{1}{N}{\int }_{0-\epsilon }^{T-\epsilon }{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-n\frac{T}{N})dt\\ & =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{\int }_{n\frac{T}{N}-\epsilon }^{n\frac{T}{N}+\epsilon }{\tilde{x}}_c(t)e^{-j\frac{2\pi }{T}kt}\delta (t-n\frac{T}{N})dt\\ & =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\underset{=\tilde{x}[n]}{\underbrace{{\tilde{x}}_c\left(n\frac{T}{N}\right)}}{e}^{-j\frac{2\pi }{T}k\left(n\frac{T}{N}\right)}\\ \text{(3.1.9)}& & =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。ここで、

$$\begin{array}{}\text{(3.1.10)}& \tilde{X}[k]\triangleq N{C}_k\end{array}$$

と定義すると、$\text{(3.1.5)}$、$\text{(3.1.9)}$に$\text{(3.1.10)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(3.1.11)}& \{\begin{array}{l}{\displaystyle \tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}}\\ {\displaystyle \tilde{X}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}}\end{array}\end{array}$$

を得る。

DTFT からの導出

時間領域の周期化

整数$n$、正の整数$N$について、$\tilde{x}[n]$は周期$N$を持つとする。すると、適当な$x[n]$によって次のように表すことができる。

$$\begin{array}{}\text{(3.2.1)}& \tilde{x}[n]\triangleq \sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-rN]\end{array}$$

$\text{(3.2.1)}$の右辺について、離散時間 Fourier 変換対$x[n]\stackrel{\mathrm{DTFT}}{⟷}X(e^{j\omega })$を考えると、逆 DTFT の定義$\text{(2.9)}$より、

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}[n]& =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{DTFT}}^{-1}[X(e^{j\omega })][n-rN]\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega (n-rN)}d\omega \\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}{e}^{-j\omega rN}d\omega \\ \text{(3.2.2)}& & ={\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}\left[\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\omega rN}\right]d\omega \end{array}$$

となる。ここで Dirichlet 核の極限$\text{(0.3)}$を思い出すと、

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-j\omega rN}& =\frac{1}{2\pi }\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{jr(\omega N)}\\ & =\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega N-2\pi k)\\ \text{(3.2.3)}& & =\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi }{N}k)\end{array}$$

であるから、$\text{(3.2.2)}$に$\text{(3.2.3)}$を代入して、

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}[n]& ={\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}\left[\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi }{N}k)\right]d\omega \\ \text{(3.2.4)}& & =\frac{1}{N}{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi }{N}k)d\omega \end{array}$$

となる。ここで、被積分関数が周期$2\pi$を持つことから、十分小さな正の実数$\epsilon$を用いて積分区間を変更し、さらに積分区間においてデルタ関数がピークを持つ$\omega$の近傍に注目すると、$\text{(3.2.4)}$は、

$$\begin{array}{rl}\tilde{x}[n]& =\frac{1}{N}{\int }_{0-\epsilon }^{2\pi -\epsilon }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (\omega -\frac{2\pi }{N}k)d\omega \\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{\int }_{\frac{2\pi }{N}k-\epsilon }^{\frac{2\pi }{N}k+\epsilon }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}\delta (\omega -\frac{2\pi }{N}k)d\omega \\ \text{(3.2.5)}& & =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X\left(e^{j\frac{2\pi }{N}k}\right)e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。ここで、整数$k$について、
$$\begin{array}{}\text{(3.2.6)}& \tilde{X}[k]\triangleq X\left(e^{j\frac{2\pi }{N}k}\right)\end{array}$$

と定義すると、$\text{(3.2.5)}$に$\text{(3.2.6)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(3.2.7)}& \tilde{x}[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\tilde{X}[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

を得る。

離散化された周波数領域

$\text{(3.2.6)}$の右辺について考えると、$X(e^{j\omega })$は $x[n]$の DTFT であったから、定義$\text{(2.8)}$より、

$$\begin{array}{rl}\tilde{X}[k]& =\mathrm{DTFT}[x[n]]\left(\frac{2\pi }{N}k\right)\\ \text{(3.2.8)}& & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。整数全体を$N$個ずつに分割すると、

$$\mathbb{Z}=\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\{-rN,\dots ,(N-1)-rN\}$$

とできるから、$\text{(3.2.8)}$は、

$$\begin{array}{rl}\tilde{X}[k]& =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{N-1}x[n-rN]e^{-j\frac{2\pi }{N}k(n-rN)}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{N-1}x[n-rN]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\underset{=1}{\underbrace{e^{j2\pi kr}}}\\ & =\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{N-1}x[n-rN]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}\underset{=\tilde{x}[n]}{\underbrace{[\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-rN]]}}{e}^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\\ \text{(3.2.9)}& & =\sum _{n=0}^{N-1}\tilde{x}[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。

定義

性質

${\tilde{x}}_c(t)$とその Fourier 係数$c_k$に対して、

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \tilde{x}[n]\triangleq {\tilde{x}}_c\left(n\frac{T}{N}\right)}\\ {\displaystyle \tilde{X}[k]=N\sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k-rN}}\end{array}$$

また、DTFT 変換対$x[n]\stackrel{\mathrm{DTFT}}{⟷}X(e^{j\omega })$に対して、

$$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \tilde{x}[n]\triangleq \sum _{r=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-rN]}\\ {\displaystyle \tilde{X}[k]\triangleq X\left(e^{j\frac{2\pi }{N}k}\right)}\end{array}$$
という関係性があった。

$\tilde{x}[n]$および$\tilde{X}[k]$はともに周期的かつ離散的であり、それらの周期 はともに$N$である。

離散 Fourier 変換 (DFT)

導出

周期$N$の$\tilde{x}[n]$とその離散 Fourier 係数$\tilde{X}[k]$を考える。

ここで、$n\in \{0,1,\dots ,N-1\}$において、

$$\begin{array}{}\text{(4.1)}& x_N[n]\triangleq \tilde{x}[n]\end{array}$$

と定義すると、離散 Fourier 係数の定義$\text{(3.3)}$に$\text{(4.1)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(4.2)}& \tilde{X}[k]=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_N[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

となる。さらに、$k\in \{0,1,\dots ,N-1\}$において、

$$\begin{array}{}\text{(4.3)}& X_N[k]\triangleq \tilde{X}[k]\end{array}$$

と定義すると、$\text{(4.2)}$に$\text{(4.3)}$を代入することにより、

$$\begin{array}{}\text{(4.4)}& X_N[k]=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_N[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

を得る。

同様に、離散 Fourier 級数の定義$\text{(3.4)}$に$\text{(4.1)}$、$\text{(4.3)}$を代入することにより

$$\begin{array}{}\text{(4.5)}& x_N[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{X}_N[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn}\end{array}$$

を得る。

定義

性質

$\tilde{x}[n]$とその離散 Fourier 係数$\tilde{X}[k]$に対して、

$$\{\begin{array}{ll}{x}_N[n]\triangleq \tilde{x}[n],& n\in \{0,1,\dots ,N-1\}\\ X_N[k]\triangleq \tilde{X}[k],& k\in \{0,1,\dots ,N-1\}\end{array}$$

という関係性があった。

結局 DFS と同じ形ではあるが、$x_N[n]$および$X_N[k]$はともに有限長$N$の列である。一連の導出の流れとしてはおまけ感がある。