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大学数学基礎解説
文献あり

Cauchyの平均値の定理の好きな証明

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$
Cauchyの平均値の定理

関数$f, g$は閉区間$I=[a, b]$で連続,開区間$I^{\circ}=(a, b)$で微分可能であるとする.このとき,$g'(x)\neq0 (a< x< b)$ならば,次を満たす$c\in I^{\circ}$が存在する:
$$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$$

関数$f, g, h$は閉区間$I=[a, b]$で連続,開区間$I^{\circ}=(a, b)$で微分可能とする.関数$F$
$$F(x):= \mathrm{det} \begin{pmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ \end{pmatrix} $$
で定義する.

このとき,$F(a)=F(b)=0$であるので,Rolleの定理より,
ある$c\in I^{\circ}$が存在し,
$$ F'(c)=\mathrm{det} \begin{pmatrix} f'(c) & g'(c) & h'(c) \\ f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ \end{pmatrix} =0 $$
となる.

ここで,$h(x)=1$とし,上の行列式を展開することで,
$$f'(c)g(a)+g'(c)f(b)=f'(c)g(b)+g'(c)f(a)$$
を得る.移項して両辺を$(g(b)-g(a))g'(c)$で割ることで,Cauchyの平均値の定理が示された.(導関数$g'$が0にならないことと,Rolleの定理より$g(a)\neq g(b)$であることに注意.)

参考文献

[1]
野村 隆昭, 微分積分学講義
投稿日:2021831

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mito_nya
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