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Cauchyの平均値の定理の好きな証明

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Cauchyの平均値の定理

関数 $f, g$ は閉区間 $I = [a, b]$ で連続，開区間 $I^{\circ} = (a, b)$ で微分可能であるとする．このとき， $g^{'} (x) \neq 0 (a < x < b)$ ならば，次を満たす $c \in I^{\circ}$ が存在する：
$\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)}$

関数 $f, g, h$ は閉区間 $I = [a, b]$ で連続，開区間 $I^{\circ} = (a, b)$ で微分可能とする．関数 $F$ を
$F (x) := \det (\begin{matrix} f (x) & g (x) & h (x) \\ f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \end{matrix})$
で定義する．

このとき， $F (a) = F (b) = 0$ であるので，Rolleの定理より，
ある $c \in I^{\circ}$ が存在し，
$F^{'} (c) = \det (\begin{matrix} f^{'} (c) & g^{'} (c) & h^{'} (c) \\ f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \end{matrix}) = 0$
となる．

ここで， $h (x) = 1$ とし，上の行列式を展開することで，
$f^{'} (c) g (a) + g^{'} (c) f (b) = f^{'} (c) g (b) + g^{'} (c) f (a)$
を得る．移項して両辺を $(g (b) - g (a)) g^{'} (c)$ で割ることで，Cauchyの平均値の定理が示された．(導関数 $g^{'}$ が0にならないことと，Rolleの定理より $g (a) \neq g (b)$ であることに注意．)