Cauchyの平均値の定理の好きな証明

関数$f, g, h$は閉区間$I=[a, b]$で連続，開区間$I^{\circ}=(a, b)$で微分可能とする．関数$F$を
$$F(x):= \mathrm{det} \begin{pmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ \end{pmatrix} $$
で定義する．

このとき，$F(a)=F(b)=0$であるので，Rolleの定理より，
ある$c\in I^{\circ}$が存在し，
$$ F'(c)=\mathrm{det} \begin{pmatrix} f'(c) & g'(c) & h'(c) \\ f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ \end{pmatrix} =0 $$
となる．

ここで，$h(x)=1$とし，上の行列式を展開することで，
$$f'(c)g(a)+g'(c)f(b)=f'(c)g(b)+g'(c)f(a)$$
を得る．移項して両辺を$(g(b)-g(a))g'(c)$で割ることで，Cauchyの平均値の定理が示された．(導関数$g'$が0にならないことと，Rolleの定理より$g(a)\neq g(b)$であることに注意．)