Fibonacci数と三角関数
はじめに
本稿では，「直前の2項を足し合わせたものを次の項とする」という極めて単純な定義ながら，とても美しい性質を数多く秘めているFibonacci数列，およびLucas数列を扱う．Fibonacci数の関係式の一部が三角関数の関係式に似ていると感じたことから本稿ではその関係性を考え，最終的にはFibonacci数列等に関する新たな一般項を表す式を導く．さらには，Chebyshev多項式との繋がりも見出す．
基礎知識の確認
この章では，定義や一般項を表すBinetの公式など，Fibonacci数列周辺の基本事項を確認する．
次の漸化式で定まる数列$\{F_{n}\}$をFibonacci数列という．
$$F_{1}=F_{2}=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\quad(n=1, 2, 3, \cdots)$$
また，次の漸化式で定まる数列$\{L_{n}\}$をLucas数列という．
$$L_{1}=1, L_{2}=3, L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}\quad(n=1, 2, 3, \cdots)$$
さらに，Fibonacci数列の項に出てくる数をFibonacci数，Lucas数列の項に出てくる数をLucas数という．
Fibonacci数列の特性方程式$x^2-x-1=0$の解を$\phi:=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, \bar{\phi}:=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$とする．$\phi, \bar{\phi}$は共に黄金数と呼ばる．これもまた美しい性質を多く持っているが，目的から外れるので本稿では扱わない．ただし，$\phi^2=\phi+1, \phi\bar{\phi}=-1, \phi+\bar{\phi}=1$は用いるのでここで確認しておく．
Fibonacci数列の一般項$F_{n}$を求める公式はBinetの公式と呼ばれ，同様のものがLucas数列にも存在する．
Fibonacci数列，Lucas数列の一般項は次の式で表される．
$$F_{n}=\dfrac{\phi^{n}-\bar{\phi}^{n}}{\sqrt{5}}, L_{n}=\phi^{n}+\bar{\phi}^{n}$$
さらに，Fibonacci数，Lucas数それぞれについて加法定理も存在する．
任意の自然数$m, n$について，次が成り立つ：
$$2F_{m+n}=F_{m}L_{n}+L_{m}F_{n}, 2L_{m+n}=L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}$$
Binetの公式を代入し，計算すると従う． $$\begin{eqnarray} 2F_{m+n}=&\dfrac{2\left(\phi^{m+n}-\bar{\phi}^{m+n}\right)}{\sqrt{5}}\\ =&\dfrac{\left(\phi^{m}-\bar{\phi}^{m}\right)\left(\phi^{n}+\bar{\phi}^{n}\right)+\left(\phi^{m}+\bar{\phi}^{m}\right)\left(\phi^{n}-\bar{\phi}^{n}\right)}{\sqrt{5}}\\ =&F_{m}L_{n}+L_{m}F_{n} \\ 2L_{m+n}=&2\left(\phi^{m+n}+\bar{\phi}^{m+n}\right)\\ =&\left(\phi^{m}+\bar{\phi}^{m}\right)\left(\phi^{n}+\bar{\phi}^{n}\right)+5\cdot\dfrac{\phi^{m}-\bar{\phi}^{m}}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{\phi^{n}-\bar{\phi}^{n}}{\sqrt{5}}\\ =&L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}\end{eqnarray}$$
$F_{2n}=L_{n}F_{n}, 2L_{2n}=L_{n}^{2}+5F_{n}^{2}$
Fibonacci数の三角関数表示
この章では本題のFibonacci数，Lucas数と三角関数との関係について考える．
Eulerの公式より，三角関数は次のように表される．
$$\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}, \sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$
これより先，$z=\dfrac{\pi}{2}+i\log\phi$とする．
$F_{n}=\dfrac{i^{n-1}\sin(nz)}{\sin z}, L_{n}=2i^{n}\cos(nz)$
三角関数の加法定理などを用いて変形していくと求めたいものを得ることができる．
$$\begin{eqnarray}
\sin\left(nz\right)=&\sin\left(\dfrac{n\pi}{2}+in\log\phi\right)\\
=&\begin{cases}
(-1)^{\frac{n-1}{2}}\cos(in\log\phi) & {\rm(}n{\rm:odd)} \\
(-1)^{\frac{n}{2}}\sin(in\log\phi) & {\rm(}n{\rm:even)}
\end{cases}\\
=&\begin{cases}
\dfrac{e^{-n\log\phi}+e^{n\log\phi}}{2}\cdot i^{n-1} & {\rm(}n{\rm:odd)} \\
\dfrac{e^{-n\log\phi}-e^{n\log\phi}}{2}\cdot i^{n-1} & {\rm(}n{\rm:even)}
\end{cases}\\
=&\dfrac{\sqrt{5}}{2i^{n-1}}\cdot F_{n}=\dfrac{\sin z}{i^{n-1}}\cdot F_{n}\\
\cos\left(nz\right)=&\cos\left(\dfrac{n\pi}{2}+in\log\phi\right)\\
=&\begin{cases}
(-1)^{\frac{n-1}{2}}\sin(in\log\phi) & {\rm(}n{\rm:odd)} \\
(-1)^{\frac{n}{2}}\cos(in\log\phi) & {\rm(}n{\rm:even)}
\end{cases}\\
=&\begin{cases}
\dfrac{e^{-n\log\phi}-e^{n\log\phi}}{2}\cdot i^{n-1} & {\rm(}n{\rm:odd)} \\
\dfrac{e^{n\log\phi}+e^{-n\log\phi}}{2}\cdot i^{n-1} & {\rm(}n{\rm:even)}
\end{cases}\\
=&\dfrac{L_{n}}{2i^{n}}\end{eqnarray}$$
ちなみに，先ほど証明した加法定理は，これを用いることでも証明することができる．
任意の自然数$m, n$について，次が成り立つ：
$$2F_{m+n}=F_{m}L_{n}+L_{m}F_{n}, 2L_{m+n}=L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}$$
Fibonacci数，Lucas数をそれぞれ三角関数表示して計算するだけである．
$$\begin{eqnarray}
2F_{m+n}=&2\cdot\dfrac{i^{m+n-1}\sin(mz+nz)}{\sin z} \\
=&\dfrac{i^{m-1}\sin(mz)}{\sin z}\cdot2i^{n}\cos(nz) \\
&\qquad +2i^{m}\cos(mz)\dfrac{i^{n-1}\sin(nz)}{\sin z} \\
=&F_{m}L_{n}+L_{m}F_{n}\\
2L_{m+n}=&4i^{m+n}\cos(mz+nz)\\
=&2i^{m}\cos(mz)\cdot2i^{n}\cos(nz)\\
&\qquad-5\cdot\dfrac{2i^{m-1}\sin(mz)}{\sqrt{5}}\cdot\dfrac{2i^{n-1}\sin(nz)}{\sqrt{5}}\\
=&L_{m}L_{n}+5F_{m}F_{n}\end{eqnarray}$$
$\cos(nz)$と$\sin(nz)$は，Chebyshev多項式(命題4参照)を用いることで$\cos z$と$\sin z$で表すことができる．
非負整数$n$に対し，$\cos(n\theta)=T_{n}(\cos\theta)$なる$n$次整数係数多項式$T_{n}(x)$が存在する．これを$n$次Chebyshev多項式という．
$T_{0}(x)=1, T_{1}(x)=x$である．$n\geq2$のときは，三角関数の和積公式より$\cos(nx)+\cos((n-2)x)=2\cos((n-1)x)\cos x$であるので，$T_{n}(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)$と定めればよい．
命題4を用いることで，定理2の次の表現を得る．
$L_{n}=2i^{n}T_{n}\left(\dfrac{1}{2i}\right), F_{n}=\dfrac{i^{n-1}}{n}T'_{n}\left(\dfrac{1}{2i}\right)$
なお，$T'_{n}(x)$は$T_{n}(x)$の微分を表す．
$L_1=1=2i\cos z$より，$\cos z=\dfrac{1}{2i}$である．よって，$T_{n}(\cos x)=\cos(nx)$に$x=z$を代入すると第1式を得る．また，両辺を微分することで第2式も得ることができる．