虚数単位の階乗の絶対値の値(= | i ! |)

先に結果を書いておきます:

証明

この有名な公式から導くことができます.

$z=i$とし, $\mathrm{\Gamma }(1+z)=z\mathrm{\Gamma }(z)$より,
$$-i\mathrm{\Gamma }(i)\mathrm{\Gamma }(-i)=\frac{\pi }{\sin \left(i\pi \right)}$$
オイラーの公式より, $\sin z=-i\sinh \left(iz\right)$だから,
$$\mathrm{\Gamma }(i)\mathrm{\Gamma }(-i)=\frac{\pi }{\sinh \pi }$$
ここで, 両辺へ$i\times (-i)=1$をかけておきます.
$$i\mathrm{\Gamma }(i)(-i\mathrm{\Gamma }(-i))=\frac{\pi }{\sinh \pi }\times 1$$

また, 実数$x$に対して($z$と共役な複素数を$\bar{z}$と書く)
$$\overline{\mathrm{\Gamma }(ix)}=\overline{(-1+ix)(-2+ix)\cdots }=(-1-ix)(-2-ix)\cdots =\mathrm{\Gamma }(-ix)$$
であることから, 共役な複素数の性質より,
$$|i\mathrm{\Gamma }(i){|}^2=\frac{\pi }{\sinh \pi }$$
右辺は明らかに正なので,
$$|i\mathrm{\Gamma }(i)|=\sqrt{\frac{\pi }{\sinh \pi }}$$
式自体はここで止めるべきなんですが, 見た目のインパクトを付け足すために, あえて階乗記号「！」を使って表す^(※1)と, ガンマ関数の有名な性質より,

注釈

(※1) 階乗記号はおおむね自然数(あるいは整数)に対して定義されているのが一般的で, 自然数以外に対して「$z!$」のように表記するのは非推奨だと考えています.