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虚数単位の階乗の絶対値の値(= | i ! |)

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$$$$

先に結果を書いておきます:

$$|i!|=\sqrt{\frac{\pi}{\sinh\pi}}$$

証明

この有名な公式から導くことができます.

ガンマ関数の相反公式

$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}\qquad (z\in\mathbb{C})$$

$z=i$とし, $\Gamma(1+z)=z\Gamma(z)$より,
$$-i\Gamma(i)\Gamma(-i)=\frac{\pi}{\sin(i\pi)}$$
オイラーの公式より, $\sin z=-i\sinh(iz)$だから,
$$\Gamma(i)\Gamma(-i)=\frac{\pi}{\sinh\pi}$$
ここで, 両辺へ$i\times (-i)=1$をかけておきます.
$$ i\Gamma(i)(-i\Gamma(-i))=\frac{\pi}{\sinh\pi}\times 1$$

また, 実数$x$に対して($z$と共役な複素数を$\overline{z}$と書く)
$$\overline{\Gamma(ix)}=\overline{(-1+ix)(-2+ix)\cdots}=(-1-ix)(-2-ix)\cdots=\Gamma(-ix)$$
であることから, 共役な複素数の性質より,
$$|i\Gamma(i)|^2=\frac{\pi}{\sinh \pi}$$
右辺は明らかに正なので,
$$|i\Gamma(i)|=\sqrt{\frac{\pi}{\sinh \pi}}$$
式自体はここで止めるべきなんですが, 見た目のインパクトを付け足すために, あえて階乗記号「!」を使って表す(※1)と, ガンマ関数の有名な性質より,


$$|i!|=\sqrt{\frac{\pi}{\sinh\pi}}$$

注釈

(※1) 階乗記号はおおむね自然数(あるいは整数)に対して定義されているのが一般的で, 自然数以外に対して「$z!$」のように表記するのは非推奨だと考えています.

投稿日:2020118

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投稿者

地頭が悪い 研究するより、ただ「知って」ただ「使う」のが好き

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