高校数学解説

文献あり

フィボナッチ数列から1を作る級数の秘密を公開

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はじめに

この記事では、先月発売された書籍「数学クラスタが集まって本気で大喜利してみた」の７３ページにのっている次の式について解説します。

「数学クラスタが集まって本気で大喜利してみた」p.73

次の級数を求めよ。

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{φ}{\sqrt{5} F_{2^{k}}}$

ただし $φ$ は黄金数で $φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ とする。

記事の中に「@apu_yokai」とありますように、実はこの記事の元ネタになったのが私のツイートでした!
元になっているツイートはこちらです。

この式の答えはな〜んだ？ pic.twitter.com/qCAuZHXLLB
— ａｐｕ (@apu_yokai) April 17, 2020

書籍には証明はのっていませんので、この記事で証明方法をご紹介します。

確認

$F_{n}$ はフィボナッチ数です。
なお、 $F_{2^{k}}$ であって $F_{2 k}$ ではないことに注意してください。つまり、

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{φ}{\sqrt{5} F_{2^{k}}} = \frac{φ}{\sqrt{5} F_{2}} + \frac{φ}{\sqrt{5} F_{4}} + \frac{φ}{\sqrt{5} F_{8}} + \frac{φ}{\sqrt{5} F_{16}} + \dots$

ということです。

級数の答え

この式は、書籍の中で「答えが $１$ になる問題を考えよ」の章にのっていますから、もちろん答えは $1$ になります!

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{φ}{\sqrt{5} F_{2^{k}}} = 1$

解説

それでは、この級数が $1$ になることを説明していきます。

まず次の補題を考えます。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2^{n - 1}}}{1 - x^{2^{n}}} = {\begin{cases} \frac{x}{1 - x} & | x | < 1 \\ \frac{1}{1 - x} & | x | > 1 \end{cases}$

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{2^{n - 1}}}{1 - x^{2^{n}}} & = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} \frac{(1 + x^{2^{n - 1}}) - 1}{1 - x^{2^{n}}} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} (\frac{1}{1 - x^{2^{n - 1}}} - \frac{1}{1 - x^{2^{n}}}) \\ = lim_{N \to \infty} (\frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x^{2^{N}}}) \\ = {\begin{cases} \frac{x}{1 - x} & | x | < 1 \\ \frac{1}{1 - x} & | x | > 1 \end{cases} \end{aligned}$

$3$ 行目の変形には望遠鏡和(telescoping sum)を使っています。

補題で $x = - \frac{1}{φ}$ とすると、 $| x | < 1$ より

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- \frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n}}} & = \frac{- \frac{1}{φ}}{1 - (- \frac{1}{φ})} \\ = - \frac{1}{φ^{2}} \end{aligned}$

次に左辺を変形すると、

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- \frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n}}} & = - 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(- \frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n}}} \\ = - 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{{(\frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n}}} \\ = - 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{φ^{2^{n - 1}} - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}} \\ = - 1 + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n - 1}}} \\ = - 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n}}} \end{aligned}$

とできます。 $4$ 行目の変形でビネの公式を使っています。

元の式の最右辺と合わせて

$\begin{array}{r} - 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n}}} = - \frac{1}{φ^{2}} \end{array}$

さらに変形していくと、

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n}}} & = 1 - \frac{1}{φ^{2}} \\ = \frac{1}{φ} \end{aligned}$

$∴ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{φ}{\sqrt{5} F_{2^{n}}} & = 1 \end{aligned}$

これで完成です!

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{φ}{\sqrt{5} F_{2^{k}}} = 1$

(おまけ)部分和を考える

ここで終わってもいいのですが、せっかくなので部分和がどうなるかも考えてみましょう。
補題の証明を途中でとめると

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{2^{n - 1}}}{1 - x^{2^{n}}} & = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{1 - x^{2^{N}}} \end{aligned}$

$x = - \frac{1}{φ}$ とすると、

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} \frac{{(- \frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n}}} & = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{φ})} - \frac{1}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N}}} \end{aligned}$

左辺は先ほどと同様の変形により

$\sum_{n = 1}^{N} \frac{{(- \frac{1}{φ})}^{2^{n - 1}}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{n}}} = - 1 + \sum_{n = 2}^{N} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n - 1}}}$

とできるので、

$\begin{aligned} - 1 + \sum_{n = 2}^{N} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n - 1}}} & = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{φ})} - \frac{1}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N}}} \end{aligned}$

さらに変形していくと

$\begin{aligned} \sum_{n = 2}^{N} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n - 1}}} & = 1 + \frac{1}{φ} - \frac{1}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N}}} \\ = φ - \frac{1}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N}}} \end{aligned}$

$1$ 項ずらして

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{n}}} & = φ - \frac{1}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N + 1}}} \\ = \frac{φ - φ \cdot {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N + 1}} - 1}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N + 1}}} \\ = \frac{1}{φ} \cdot \frac{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N + 1} - 2}}{1 - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N + 1}}} \\ = \frac{1}{φ} \cdot \frac{φ^{2^{N} - 1} + {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N} - 1}}{φ^{2^{N} - 1}} \cdot \frac{φ^{2^{N}}}{φ^{2^{N}} - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N}}} \\ = \frac{φ^{2^{N} - 1} + {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N} - 1}}{1} \cdot \frac{1}{φ^{2^{N}} - {(- \frac{1}{φ})}^{2^{N}}} \\ = L_{2^{N} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} F_{2^{N}}} \end{aligned}$

$L_{n}$ はリュカ数です。

$∴ \begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{F_{2^{n}}} & = \frac{L_{2^{N} - 1}}{F_{2^{N}}} \end{aligned}$

いい感じの式ができました!

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{F_{2^{n}}} & = \frac{L_{2^{N} - 1}}{F_{2^{N}}} \end{aligned}$

部分和の式を無限にとばすことでも級数和が得られます。

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{F_{2^{n}}} & = lim_{N \to \infty} \frac{L_{2^{N} - 1}}{F_{2^{N}}} \\ = \frac{\sqrt{5}}{φ} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{F_{2^{n}}} & = \frac{\sqrt{5}}{φ} \end{aligned}$

Millin 級数について

この級数を少し変形した次のような級数は "Millin 級数" と呼ばれています。

Millin series

$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{F_{2^{n}}} & = 4 - φ \end{aligned}$

実は、この級数はMillerさんが見つけたので本当はMiller series と呼ぶべきなんですが、なぜかMillin seriesと呼ばれるようになったうえ、本人が面白がって訂正しなかったそうです。

Millin series と呼ばれているフィボナッチ数の逆数の級数はMillerさんが見つけたので本当はMiller series と呼ぶべきなんだけど、なぜかMillin seriesと呼ばれるようになったうえ、本人が面白がって訂正しなかったそうな🙂 https://t.co/GkI056ghXO
— ａｐｕ (@apu_yokai) December 22, 2020