Fibonacci 数を含む基礎的な無限級数 (2)　有名な無限和

$F_{n+1}=F_{n+2}-F_n$であることを用いれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_n}& =\sum _{n⩾1}^n\frac{F_{n+2}-F_n}{F_{n+2}{F}_{n+1}{F}_n}\\ & =\sum _{n⩾1}^n(\frac{1}{F_{n+1}{F}_n}-\frac{1}{F_{n+2}{F}_{n+1}})\\ & =\frac{1}{F_1{F}_2}=1\end{array}$$と計算できる. $◻$

$2F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-F_n=F_{n+3}-F_n$であることを用いれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{n+3}{F}_{n+2}{F}_n}& =\sum _{n⩾1}^n\frac{F_{n+3}-F_n}{2F_{n+3}{F}_{n+2}{F}_{n+1}{F}_n}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{n⩾1}^n(\frac{1}{F_{n+2}{F}_{n+1}{F}_n}-\frac{1}{F_{n+3}{F}_{n+2}{F}_{n+1}})\\ & =\frac{1}{2}\frac{1}{F_1{F}_2{F}_3}=\frac{1}{4}\end{array}$$と計算できる. $◻$

(省略).

(省略).

加法定理から
$$\begin{array}{rl}{F}_{4n+3}& =F_{4n+4}-F_{4n+2}\\ & =F_{(2n+2)+(2n+1)+1}-F_{(2n+1)+2n+1}\\ & =F_{2n+3}{F}_{2n+2}+F_{2n+2}{F}_{2n+1}-F_{2n+2}{F}_{2n+1}-F_{2n+1}{F}_{2n}\\ & =F_{2n+3}{F}_{2n+2}-F_{2n+1}{F}_{2n}\end{array}$$であることを用いれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{F_{4n+3}}{F_{2n+3}{F}_{2n+2}{F}_{2n+1}{F}_{2n}}& =\sum _{n⩾1}^n(\frac{1}{F_{2n+1}{F}_{2n}}-\frac{1}{F_{2n+3}{F}_{2n+2}})\\ & =\frac{1}{F_2{F}_1}=1\end{array}$$と計算できる. $◻$

加法定理および符号の反転公式から
$$\begin{array}{rl}(-1{)}^n& =(-1{)}^n\frac{F_{(n+1-1)-n+1}}{F_1}\\ & =\frac{(-1{)}^n(F_{n+1}{F}_{-n+1}+F_{n+1-1}{F}_{-n})}{F_1}\\ & =F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n{F}_n\end{array}$$であるので,
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+1}{F}_n}& =\sum _{n⩾1}^n\frac{F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n{F}_n}{F_{n+1}{F}_n}\\ & =\sum _{n⩾1}^n(\frac{F_{n-1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n+1}})\\ & =\underset{\ell \to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^{n=\ell }(\frac{F_{n-1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n+1}})\\ & =\underset{\ell \to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{F_0}{F_1}-\frac{F_{\ell }}{F_{\ell +1}})\\ & =\underset{\ell \to \mathrm{\infty }}{lim}(-\frac{F_{\ell }}{F_{\ell }+1})=-\frac{1}{\varphi }\end{array}$$と纏められ, 最後に$\varphi \overline{\varphi }=-1$であることを適用すれば命題の式を得ることができる. $◻$

加法定理および符号の反転公式から
$$\begin{array}{rl}(-1{)}^n& =(-1{)}^n\frac{F_{(n+k-1)+(-n)+1}}{F_k}\\ & =\frac{(-1{)}^n(F_{n+k}{F}_{-n+1}+F_{n+k-1}{F}_{-n})}{F_k}\\ & =\frac{F_{n+k}{F}_{n-1}-F_{n+k-1}{F}_n}{F_k}\end{array}$$であるので,
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+k}{F}_n}& =\frac{1}{F_k}\sum _{n⩾1}^n\frac{F_{n+k}{F}_{n-1}-F_{n+k-1}{F}_n}{F_{n+k}{F}_n}\\ & =\frac{1}{F_k}\sum _{n⩾1}^n(\frac{F_{n-1}}{F_n}-\frac{F_{n+k-1}}{F_{n+k}})\\ & =\frac{1}{F_k}\underset{\ell \to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^{n=\ell }(\frac{F_{n-1}}{F_n}-\frac{F_{n+k-1}}{F_{n+k}})\\ & =\frac{1}{F_k}\underset{\ell \to \mathrm{\infty }}{lim}(\sum _{n=1}^{n=k}\frac{F_{n-1}}{F_n}-\sum _{n=\ell +1}^{n=\ell +k}\frac{F_{n-1}}{F_n})\\ & =\frac{1}{F_k}\sum _{n=1}^{n=k}\frac{F_{n-1}}{F_n}-\underset{\ell \to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{n=1}^{n=k}\frac{F_{n+\ell -1}}{F_{n+\ell }}\\ & =\frac{1}{F_k}(-k\frac{1}{\varphi }+\sum _{n=1}^{n=k}\frac{F_{n-1}}{F_n})\end{array}$$と纏められ, 最後に$\varphi \overline{\varphi }=-1$であることを適用すれば命題の式を得ることができる. $◻$

上記二つの無限級数の収束値をそれぞれ$S,T$と置くと
$$\begin{array}{rl}S+T& =\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_n}=1,\\ T-S& =\sum _{n⩾1}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+2}{F}_n}=\frac{1}{F_2}(2\overline{\varphi }+\frac{F_1}{F_2})\\ & =2{\overline{\varphi }}^1+{\overline{\varphi }}^0={\overline{\varphi }}^2+{\overline{\varphi }}^1={\overline{\varphi }}^3\end{array}$$が先の定理により成りたつから, これらを$(S,T)$について変形して,
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1-{\overline{\varphi }}^3}{2}=\frac{1-\overline{\varphi }-{\overline{\varphi }}^2}{2}=\frac{-2\overline{\varphi }-({\overline{\varphi }}^2-\overline{\varphi }-1)}{2}=-\overline{\varphi },\\ T& =\frac{1+{\overline{\varphi }}^3}{2}=\frac{{\overline{\varphi }}^2-\overline{\varphi }+{\overline{\varphi }}^2+\overline{\varphi }}{2}={\overline{\varphi }}^2\end{array}$$とそれぞれの値を得ることができる. $◻$

(省略).

二つの無限級数をそれぞれ$S,T$と置く. Cassini の公式により$F_{2n-1}^2-1=F_{2n}{F}_{2n-2}$が成立することを用いると
$$\begin{array}{rl}S+T& =\sum _{n⩾2}^n\frac{2F_{2n-1}}{F_{2n-1}^2-1}=2\sum _{n⩾2}\frac{F_{2n}-F_{2n-2}}{F_{2n}{F}_{2n-2}}\\ & =2\sum _{n⩾2}(\frac{1}{F_{2n-2}}-\frac{1}{F_{2n}})=2,\\ T-S& =\sum _{n⩾2}^n\frac{2}{F_{2n-1}^2-1}=2\sum _{n⩾2}\frac{1}{F_{2n}{F}_{2n-2}}\\ & =2\cdot \frac{1}{2}(\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_n}+\sum _{n⩾1}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+2}{F}_n})\\ & =1+\frac{1}{F_2}(2\overline{\varphi }+\frac{F_1}{F_2})=2+2\overline{\varphi }\end{array}$$が成りたつから, これらを$(S,T)$について変形して,
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{2-(2+2\overline{\varphi })}{2}=-\overline{\varphi },\\ T& =\frac{2+(2+2\overline{\varphi })}{2}=1+(1+\overline{\varphi })=1+{\overline{\varphi }}^2=-(\varphi -\overline{\varphi })\overline{\varphi }=-\sqrt{5}\overline{\varphi }\end{array}$$とそれぞれの値を得ることができる. 但し, 途中で$\varphi \overline{\varphi }=-1$であることを適用した. $◻$

Cassini の公式により$F_{2n}^2+1=F_{2n+1}{F}_{2n-1}$かつ$F_{2n-1}^2-1=F_{2n}{F}_{2n-2}$が成立することを用いると
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n}^2+1}& =\sum _{n⩾2}\frac{1}{F_{2n+1}{F}_{2n-1}}\\ & =\frac{1}{2}(\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_n}-\sum _{n⩾2}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+2}{F}_n})\\ & =\frac{1}{2}(\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_n}-\frac{1}{2}-\sum _{n⩾1}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+2}{F}_n}-\frac{1}{2})\\ & =\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{F_2}(2\overline{\varphi }+\frac{F_1}{F_2})-\frac{1}{2})\\ & =-\overline{\varphi }-\frac{1}{2},\\ \sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n-1}^2-1}& =\sum _{n⩾2}\frac{1}{F_{2n}{F}_{2n-2}}\\ & =\frac{1}{2}(\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_n}+\sum _{n⩾1}^n\frac{(-1{)}^n}{F_{n+2}{F}_n})\\ & =\frac{1}{2}(1+\frac{1}{F_2}(2\overline{\varphi }+\frac{F_1}{F_2}))\\ & =1+\overline{\varphi }={\overline{\varphi }}^2\end{array}$$と計算できる.

Catalan の公式により$F_{2n}^2-1=F_{2n+2}{F}_{2n-2}$かつ$F_{2n-1}^2+1=F_{2n+1}{F}_{2n-3}$が成立することを用いると
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n}^2-1}& =\sum _{n⩾2}\frac{1}{F_{2n+2}{F}_{2n-2}}=\frac{1}{3}\sum _{n⩾2}\frac{3F_{2n}}{F_{2n+2}{F}_{2n}{F}_{2n-2}},\\ \sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n-1}^2+1}& =\sum _{n⩾2}\frac{1}{F_{2n+1}{F}_{2n-3}}=\frac{1}{3}\sum _{n⩾2}\frac{3F_{2n-1}}{F_{2n+1}{F}_{2n-1}{F}_{2n-3}}\end{array}$$のように変形でき, ここに漸化式$3F_n=F_{n+2}+F_{n-2}$を適用すれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n}^2-1}& =\frac{1}{3}\sum _{n⩾2}^n\frac{F_{2n+2}+F_{2n-2}}{F_{2n+2}{F}_{2n}{F}_{2n-2}},\\ & =\frac{1}{3}(\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n}{F}_{2n-2}}+\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n+2}{F}_{2n}})\\ & =\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}+2\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n}{F}_{2n-2}}),\\ \sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n-1}^2+1}& =\frac{1}{3}\sum _{n⩾2}^n\frac{F_{2n+3}+F_{2n-1}}{F_{2n+3}{F}_{2n+1}{F}_{2n-1}},\\ & =\frac{1}{3}(\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n+1}{F}_{2n-1}}+\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n+3}{F}_{2n+1}})\\ & =\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}+2\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n+1}{F}_{2n-1}})\end{array}$$と纏められる. 一つ前の命題での議論を借りて計算すれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n}^2-1}& =\frac{1}{3}(-\frac{1}{3}+2{\overline{\varphi }}^2)=\frac{8-3\sqrt{5}}{9},\\ \sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2n-1}^2+1}& =\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}-2\overline{\varphi })=\frac{-3+2\sqrt{5}}{6}\end{array}$$となる. $◻$

$n$を偶奇分けして足しあわせれば, 一つ前および二つ前の命題から計算することができる (省略).

部分分数分解をすると
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \sum _{n⩾3}^n\frac{1}{F_n^4-1}=\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n⩾3}^n\frac{1}{F_n^2-1}-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{n⩾3}^n\frac{1}{F_n^2+1}}}}\end{array}$$
となること, および一つ前の命題から得られる (省略).

Catalan の等式から
$$\begin{array}{rl}{F}_n^4-1& =\{\begin{array}{ll}(F_n^2+F_1^2)(F_n^2-F_2^2)& (n:\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\\ (F_n^2+F_2^2)(F_n^2-F_1^2)& (n:\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d})\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}{F}_{n+1}{F}_{n-1}{F}_{n+2}{F}_{n-2}& (n:\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{n})\\ F_{n+2}{F}_{n-2}{F}_{n+1}{F}_{n-1}& (n:\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{d})\end{array}\\ & =F_{n+2}{F}_{n+1}{F}_{n-1}{F}_{n-2},\\ (-1{)}^n& =(-1{)}^n\frac{F_{(n+1)+(-n+1)+1}}{F_3}\\ & =(-1{)}^n\frac{F_{n+2}{F}_{-n+2}+F_{n+1}{F}_{-n+1}}{2}\\ & =\frac{-F_{n+2}{F}_{n-2}+F_{n+1}{F}_{n-1}}{2}\end{array}$$であるため,
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾3}^n\frac{(-1{)}^n}{F_n^4-1}& =\frac{1}{2}\sum _{n⩾3}^n\frac{F_{n+1}{F}_{n-1}-F_{n+2}{F}_{n-2}}{F_{n+2}{F}_{n+1}{F}_{n-1}{F}_{n-2}}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{n⩾3}^n(\frac{1}{F_{n+2}{F}_{n-2}}-\frac{1}{F_{n+1}{F}_{n-1}})\end{array}$$と分離することができる. 漸化式$3F_n=F_{n+2}+F_{n-2}$を用いてそれぞれの和を計算すれば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾3}^n\frac{1}{F_{n+2}{F}_{n-2}}& =\sum _{n⩾3}^n\frac{F_{n+2}+F_{n-2}}{3F_{n+2}{F}_n{F}_{n-2}}\\ & =\frac{1}{3}\sum _{n⩾3}^n(\frac{1}{F_n{F}_{n-2}}+\frac{1}{F_{n+2}{F}_n})\\ & =\frac{1}{3}(1+1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3})=\frac{7}{18},\\ \sum _{n⩾3}^n\frac{1}{F_{n+1}{F}_{n-1}}& =1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\end{array}$$と$\sum _{n⩾1}^{n}1/F_{n+2}{F}_n=1$から導かれ, 元の級数の収束値は
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾3}^n\frac{(-1{)}^n}{F_n^4-1}& =\frac{1}{2}\sum _{n⩾3}^n(\frac{1}{F_{n+2}{F}_{n-2}}-\frac{1}{F_{n+1}{F}_{n-1}})\\ & =\frac{1}{2}(\frac{7}{18}-\frac{1}{2})=-\frac{1}{18}\end{array}$$であることが判る. $◻$

収束範囲で
$$\begin{array}{r}F(x)=\sum _{n⩾1}^n\frac{x^{2^{n-1}}}{F_{2^n}}\end{array}$$なる級数を考える. 数列$(L_n)$および$(F_n)$の一般項から
$$\begin{array}{rl}F(\varphi x)+F(\overline{\varphi }x)& =\sum _{n⩾1}^n\frac{{\varphi }^{2^{n-1}}+{\overline{\varphi }}^{2^{n-1}}}{F_{2^n}}{x}^{2^{n-1}}\\ & =\sum _{n⩾1}^n\frac{x^{2^{n-1}}}{F_{2^{n-1}}}\\ & =x+F(x^2)\end{array}$$が成立するので, $x=-\overline{\varphi }$を代入して
$$\begin{array}{r}F(1)+F(-{\overline{\varphi }}^2)=-\overline{\varphi }+F({\overline{\varphi }}^2)\end{array}$$即ち
$$\begin{array}{rl}F(1)& =-\overline{\varphi }+F({\overline{\varphi }}^2)-F(-{\overline{\varphi }}^2)\\ & =-\overline{\varphi }+\sum _{n⩾1}^n\frac{({\overline{\varphi }}^2{)}^{2^{n-1}}}{F_{2^n}}-\sum _{n⩾1}^n\frac{(-{\overline{\varphi }}^2{)}^{2^{n-1}}}{F_{2^n}}\\ & =-\overline{\varphi }+\sum _{n=1}^{n=1}(\frac{({\overline{\varphi }}^2{)}^{2^{n-1}}}{F_{2^n}}-\frac{(-{\overline{\varphi }}^2{)}^{2^{n-1}}}{F_{2^n}})\\ & =-\overline{\varphi }+2{\overline{\varphi }}^2=1+{\overline{\varphi }}^2\\ & =(\overline{\varphi }-\varphi )\overline{\varphi }=-\sqrt{5}\overline{\varphi }\end{array}$$を得る. $◻$

一般項を直接代入して進めると
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{2^n}}& =\sum _{n⩾1}^n\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^{2^n}-{\overline{\varphi }}^{2^n}}=\sum _{n⩾1}^n\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^{2^n}-{\varphi }^{-2^n}}\\ & =\sum _{n⩾1}^n\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^{2^n}}\frac{1}{1-{\varphi }^{-2^{n+1}}}\\ & =\sum _{n⩾1}^n\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^{2^n}}\sum _{m⩾0}^m{\varphi }^{-2^{n+1}m}\\ & =\sum _{n⩾1}^n\sum _{m⩾0}^m\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^{2^n(2m+1)}}\\ & =\sum _{\ell ⩾1}^{\ell }\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^{2\ell }}\\ & =\frac{(\varphi -\overline{\varphi }){\varphi }^{-2}}{1-{\varphi }^{-2}}=\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{{\varphi }^2-1}\\ & =\frac{\varphi -\overline{\varphi }}{\varphi }=-\sqrt{5}\overline{\varphi }\end{array}$$のように計算することができる. 但し, 途中で$\varphi \overline{\varphi }=-1$であることを適用した. $◻$

Millin の級数の部分和が, あらゆる正の整数$\ell$に対して
$$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{n=\ell }\frac{1}{F_{2^n}}=3-\frac{F_{2^{\ell }+1}}{F_{2^{\ell }}}\end{array}$$のように簡約されることを証明する. ある$\ell$においてこのようであるのなら, 次の$\ell +1$においても
$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{n=\ell +1}\frac{1}{F_{2^n}}& =3-\frac{F_{2^{\ell }+1}}{F_{2^{\ell }}}+\frac{1}{F_{2^{\ell +1}}}\\ & =3-\frac{F_{2^{\ell }+1}{F}_{2^{\ell +1}}-F_{2^{\ell }}}{F_{2^{\ell }}{F}_{2^{\ell +1}}}\\ & =3-\frac{F_{e+1}{F}_{e+(e-1)+1}-F_e}{F_e{F}_{2e}}(2^{\ell }=e)\\ & =3-\frac{F_{e+1}(F_{e+1}{F}_e+F_e{F}_{e-1})-F_e}{F_e{F}_{2e}}\\ & =3-\frac{F_{e+1}^2+F_{e+1}{F}_{e-1}-1}{F_{2e}}\\ & =3-\frac{F_{e+1}^2+F_e^2}{F_{2e}}\\ & =3-\frac{F_{e+e+1}}{F_{2e}}=3-\frac{F_{2^{\ell +1}+1}}{F_{2^{\ell +1}}}\end{array}$$のようになる. $\ell =1$のときに等号は成りたっているから, 由って全ての$\ell$に対して部分和は上記のように書くことができ, $\ell \to \mathrm{\infty }$の極限を取れば
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{2^n}}& =3-\varphi =2+\overline{\varphi }\\ & =\cdots =-\sqrt{5}\overline{\varphi }\end{array}$$と元の無限級数の収束値が判る. 但し, 途中で$\varphi +\overline{\varphi }=1$であること, および一つ前の命題での議論の結果を用いた. $◻$

$2$以上なる整数$n$に対して
$$\begin{array}{r}{a}_n=\frac{1}{(1+{\varphi }^4)(1+{\varphi }^8)\cdots (1+{\varphi }^{2^n})}\end{array}$$なる実数$a_n$を定義すると, $(a_n)$の階差は
$$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}-a_n& =\frac{1}{(1+{\varphi }^4)(1+{\varphi }^8)\cdots (1+{\varphi }^{2^n})(1+{\varphi }^{2^{n+1}})}\\ & -\frac{1}{(1+{\varphi }^4)(1+{\varphi }^8)\cdots (1+{\varphi }^{2^n})}\\ & =\frac{-{\varphi }^{2^{n+1}}}{(1+{\varphi }^4)(1+{\varphi }^8)\cdots (1+{\varphi }^{2^{n+1}})}\\ & =\frac{-{\varphi }^{2^{n+1}}}{({\varphi }^{-2}+{\varphi }^2)({\varphi }^{-4}+{\varphi }^4)\cdots ({\varphi }^{-2^n}+{\varphi }^{2^n}){\varphi }^{2+4+\cdots +2^n}}\\ & =\frac{-{\varphi }^2}{({\varphi }^{-2}+{\varphi }^2)({\varphi }^{-4}+{\varphi }^4)\cdots ({\varphi }^{-2^n}+{\varphi }^{2^n})}\\ & =\frac{-({\varphi }^2-{\overline{\varphi }}^2){\varphi }^2}{({\varphi }^2-\overline{{\varphi }^2})({\varphi }^{-2}+{\varphi }^2)({\varphi }^{-4}+{\varphi }^4)\cdots ({\varphi }^{-2^n}+{\varphi }^{2^n})}\\ & =\frac{-({\varphi }^2-{\overline{\varphi }}^2){\varphi }^2}{{\varphi }^{2^{n+1}}-{\varphi }^{-2^{n+1}}}=-\frac{{\varphi }^2}{F_{2^{n+1}}}\end{array}$$のように整理されるため, 対象の級数は
$$\begin{array}{rl}\sum _{n⩾1}^n\frac{1}{F_{2^n}}& =\frac{1}{F_2}+\frac{1}{F_4}+\sum _{n⩾2}^n\frac{1}{F_{2^{n+1}}}\\ & =\frac{4}{3}-\frac{1}{{\varphi }^2}\sum _{n⩾2}^n(a_{n+1}-a_n)\\ & =\frac{4}{3}-\frac{1}{{\varphi }^2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_{n+1}-a_2)\\ & =\frac{4}{3}-\frac{1}{{\varphi }^2}(0-\frac{1}{1+{\varphi }^4})\\ & =\cdots =-\sqrt{5}\overline{\varphi }\end{array}$$に収束する. $◻$