複素積分3

今回はこの積分botさんの積分
https://twitter.com/integralsbot/status/1432987574486769666?s=21
を解説します。

$\displaystyle\log(1-iax)=\frac{1}{2}\log(1+(ax)^2)-i\tan^{-1}(ax)$
となることより
$\displaystyle\int_{-∞}^∞\frac{\cos s\tan^{-1}(ax)}{(1+x^2)(1+(ax)^2)^\frac{s}{2}}dx$
$=\displaystyle\Re\int_{-∞}^∞\frac{1}{(1+x^2)(1-iax)^s}dx$
$=\displaystyle\Re\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi\frac{1}{(1-ia\tan\frac{\theta}{2})^s}d\theta$
$=\displaystyle\Re\frac{1}{2}\oint_{C:z=e^{i\theta}}\frac{1}{(1-a・\frac{z-1}{z+1})^s}\frac{dz}{iz}$
$=\displaystyle\frac{\pi}{(1+a)^s}$