複素積分3

今回はこの積分botさんの積分
https://twitter.com/integralsbot/status/1432987574486769666?s=21
を解説します。

${\displaystyle \log (1-iax)=\frac{1}{2}\log {(1+(ax)}^2)-i{\tan }^{-1}(ax)}$
となることより
${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\cos s{\tan }^{-1}(ax)}{(1+x^2)(1+(ax{)}^2{)}^{\frac{s}{2}}}dx}$
$={\displaystyle \mathrm{Re}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{(1+x^2)(1-iax{)}^s}dx}$
$={\displaystyle \mathrm{Re}\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{(1-ia\tan \frac{\theta }{2}{)}^s}d\theta }$
$={\displaystyle \mathrm{Re}\frac{1}{2}{\oint }_{C:z=e^{i\theta }}\frac{1}{(1-a・\frac{z-1}{z+1}{)}^s}\frac{dz}{iz}}$
$={\displaystyle \frac{\pi }{(1+a{)}^s}}$