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好きな定理(1)

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この記事ではレイリーの定理について扱います。

レイリーの定理

2つの無理数α,β>01α+1β=1を満たすとき、
数列[nα](n=1,2,3)に出てくる数の集合をA
数列[nβ](n=1,2,3)に出てくる数の集合をBとすると
AB=N AB=

これだけだとわかりにくいので例を見てみましょう。

例えばα2とすると、β1112=2+2

今お手元に紙がある方は下を見る前に[2n],[(2+2)n]を是非手でそれぞれ求めてみてください!

 

結果

n123456789101112[2n]12457891112141516[(2+2)n]3610131720232730343740
確かに二つの数列にかぶりはないです!
また、二つの数列を合わせると1,2,3,4,5,6,7,8...となり出てこない自然数はないです!
僕は初めてこれを見た時はとても感動して驚きました!
たまたまだと思う人もいるかもしれないのでもう一つ例を挙げてみます。

例2

α3とすると、β1113=3+32となる。
n123456789101112[3n]1356810121315171920[3+32n]24791114161821232628これもだぶりやもれがありません!!
うまく避けているようにまで見えますね
感動です!

証明

証明はそこまで難しくありません。

A \cup BをソートしたものをCとします。
ABを(重複ありとして)ごちゃまぜにして、ソートをした数列をCとします。(2021/11/14 編集)
An番目の数字の[αn]Cの何番目に出てくるかを考える。

An=Ckと置くと、

k=nAnA+[αnβ]AnB

=n+[αnβ]

=[αnα+αnβ]

=[αn](1α+1β=1)

=An
よってAnCAn番目に出てくることがわかる。
Cn番目にはnが出てくる
CNということがわかる
AB=N AB=

証明も面白いですね!

最後に

ここまで見てくださりありがとうございました!m(__)m
 この定理、とても面白くて僕は大好きです!

投稿日:2020118
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kozy
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級数をいじったりしてます

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