複素積分4

今回はこの積分の解説をします
https://twitter.com/integralsbot/status/1433409545770962949?s=21

$I={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{x}{\varphi -{\cos }^{2}x}dx}$
KingPropertyを使って
$2I={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{2\pi }{\varphi -{\cos }^{2}x}dx}$
$I={\displaystyle \pi {\int }_0^{4\pi }\frac{1}{\sqrt{5}-\cos t}dt}$
$={\displaystyle 2\pi i{\oint }_{C:z=e^{it}}\frac{2}{z-2\sqrt{5}z+1}dz}$
$={\displaystyle -4{\pi }^2・{\frac{2}{z-\sqrt{5}-2}|}_{z=\sqrt{5}-2}}$
$={\displaystyle 2{\pi }^2}$