Lie代数的な積の微分公式の考え方

任意の環$A$に対して、付随するLie代数を$[a,b]:=ab-ba$とすることで定義できる。

$C^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R})$の自己準同型環$A=\mathrm{End}(C^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R}))$を考える。$f\in C^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R})$に対して、$f$倍写像を$\tilde{f}\in A$と書くと、$\frac{d}{dx}(fg)=f\frac{d}{dx}(g)+g\frac{d}{dx}f$は、$[\frac{d}{dx},\tilde{f}]g=g\frac{d}{dx}f$、つまり$$[\frac{d}{dx},\tilde{f}]=\widetilde{\frac{d}{dx}f}$$となる。