Lie代数的な積の微分公式の考え方

任意の環$A$に対して、付随するLie代数を$[a,b]:=ab-ba$とすることで定義できる。

$C^\infty(\mathbb R)$の自己準同型環$A=\mathrm{End}(C^\infty(\mathbb R))$を考える。$f\in C^\infty(\mathbb R)$に対して、$f$倍写像を$\tilde f\in A$と書くと、$\frac d{dx}(fg)=f\frac d{dx}(g)+g\frac d{dx}f$は、$[\frac d{dx},\tilde f]g=g\frac d{dx}f$、つまり$$\big[\frac d{dx},\tilde f\big]=\widetilde{\frac d{dx}f}$$となる。