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大学数学基礎議論
文献あり

ルベーグ積分30講の行間埋め

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はじめに

数学に関して非専門なので数弱ですが,「ルベーグ積分30講」の行間埋めを試みてみます.記事の見方は囲み枠を補完してます.個人的には数学つよつよの人はこんな記事を書いて欲しいという願望もあったりします.間違い等がありましたらコメント等で教えて頂ければ幸いです.

第5講 ルベーグ外測度

ルベーグ外測度

ルベーグ外測度は次の基本的な性質をもつ.

  1. 0m(S)<,m(ϕ)=0
  2. STならばm(S)m(T)
  3. S1, S2, ,Sl, を有界な集合列とする.和集合l=1Slもまた有界ならば
    m(l=1Sl)l=1m(Sl)

(1)
m(ϕ)=0はコメントで述べたように|ϕ|=0とおいたことからの帰結である.

(2)
Tをおおう長方形の系列{I1,I2,,In,}は,必ずまたSをおおっていることに注意するとよい.

(1)
ϵ>0Iϵ=[0,ϵ)×[0,ϵ)ϕIϵm(ϕ)|Iϵ|=ϵ2.

ϵ>0m(ϕ)=0.

(2)
Ti=1In  (In:)

STi=1In

であるので, m(S)の定義から

m(S)n=1|In|

をえる.この不等式はTi=1Inなる任意の長方形の列Inに対して成り立つ.
そのため,右辺についてそのような長方形の列についてinfをとればm(S)m(T)をえる.

第6講 ルベーグ内測度

内測度の性質

J=S(JSc)

J=(SSc)J=(SJ)(ScJ)=S(JSc)SJ

TJ,STJScJTc.

ST,ScTc.,JScJTc.

第10講 可測集合族

可測集合全体はボレル集合体をつくる

集合Xの上に外測度mが与えられているとする.このとき, mに関して可測な集合全体はボレル集合体をつくる.

(B1)をみたすこと:
可測の条件式に入れてみればϕMは明らかである.

(B1)をみたすこと:
A=ϕ,Ac=X.m(EA)+m(EAc)=m(Eϕ)+m(EX)=m(ϕ)+m(E)=m(E),ϕM(B1).

第11講 測度空間

増加列と減少列

limnBn=n=1(A1An)=A1n=1An

limnBn=n=1(A1An)=(A1A1)(A1A2)(A1A3)=(A1A1c)(A1A2c)(A1A3c)=A1(A1cA2cA3c)=A1(A1A2A3)c=A1n=1An

集合列の上極限と下極限

上極限と測度との関係は次のように与えられる.

(e)
m(n=1An)<のとき

m(limAn)limm(An)

(e):
C1=k=1Ak, C2=k=2Ak, , Cn=k=nAk, とおくと
C1C2CnlimAn

CnAn
が成り立つ.(b)を用いると, 上と同様にして証明することができる.

(e):
C1=k=1Ak, C2=k=2Ak, , Cn=k=nAk, とおくと
C1C2CnlimAn

CnAn
が成り立つ.(b)を用いると,

m(limnCn)=limnm(Cn)=m(limAn)

が成り立つ.一方, (ii)から

m(Cn)m(An)   (n=1,2,3,)

したがって, 両辺に現れた数列の上極限をとってみると, 実数列に関する上極限の性質から
limm(Cn)=limm(Cn)limm(An)
が得られる.以上から,

m(limAn)lim(An)

第13講 可測集合の周辺

2つの可測性の一致

J=K(JKc)()

J=(KKc)J=(KJ)(KcJ)=K(KcJ)   KJ

m(K)=m(J)m(JKc)=|J|m(G~)

K=JGc~とおいた.このとき,Kc=JcG~となる.以上から,

JKc=J(JcG~)=(JJc)(JG~)=ϕG~=G~G~J

第18講 可測関数の積分

  • φ(x)ψ(x)0とする.このとき

Eφ(x)m(dx)Eψ(x)m(dx)0

  • 実数a,bに対し

E(aφ(x)+bψ(x))m(dx)=aEφ(x)m(dx)+bEψ(x)m(dx)

  • EF=ϕならば

EFφ(x)m(dx)=Eφ(x)m(dx)+Fφ(x)m(dx)

この証明はどれも簡単なので特に述べない.

工事中

第19講 積分の基本定理

積分の基本定理

積分の基本定理

f(x)を測度空間X(B,m)上の可測関数で,f(x)0を満たすものとする.単関数の増加列

0φ1(x)φ2(x)φn(x)

によって,f(x)

f(x)=limnφn(x)
と表されているとする.このとき任意のEBに対して

Ef(x)m(dx)=limnEφn(x)m(dx)

が成り立つ.

(i) Eψ(x)m(dx)<のとき, このときm(E)<である.

>Eψ(x)m(dx)=i=1sαim(EAi)minαii=1sm(EAi)=minαim(E)

minαi>0よりm(E)<である.

(ii) Eψ(x)m(dx)=のとき,このときはm(E)=である.

=Eψ(x)m(dx)=i=1sαim(EAi)maxαii=1sm(EAi)=maxαim(E)

maxαi>0よりm(E)=である.

xBnに対しては,φn(x)ψ(x)ϵϵが成り立つから,

Eφnm(dx)ϵm(EBn)

Eφn(x)m(dx)=(EB+EBc)φn(x)m(dx)EBφn(x)m(dx)EBϵm(dx)ϵm(EBn)

つづく...

参考文献

投稿日:2021910
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hdk105
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  1. はじめに
  2. 第5講 ルベーグ外測度
  3. ルベーグ外測度
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  6. 第10講 可測集合族
  7. 可測集合全体はボレル集合体をつくる
  8. 第11講 測度空間
  9. 増加列と減少列
  10. 集合列の上極限と下極限
  11. 第13講 可測集合の周辺
  12. 2つの可測性の一致
  13. 第18講 可測関数の積分
  14. 第19講 積分の基本定理
  15. 積分の基本定理
  16. 参考文献