文献あり

ルベーグ積分30講の行間埋め

1019

はじめに

数学に関して非専門なので数弱ですが,「ルベーグ積分30講」の行間埋めを試みてみます.記事の見方は囲み枠を補完してます.個人的には数学つよつよの人はこんな記事を書いて欲しいという願望もあったりします.間違い等がありましたらコメント等で教えて頂ければ幸いです.

第5講　ルベーグ外測度

ルベーグ外測度

ルベーグ外測度は次の基本的な性質をもつ.

$0 \leq m^{*} (S) < \infty, m^{*} (ϕ) = 0$
$S \subset T$ ならば $m^{*} (S) \leq m^{*} (T)$
$S_{1}$ , $S_{2}$ , $\dots$ , $S_{l}$ , $\dots$ を有界な集合列とする.和集合 $⋃_{l = 1}^{\infty} S_{l}$ もまた有界ならば
$m^{*} (⋃_{l = 1}^{\infty} S_{l}) \leq \sum_{l = 1}^{\infty} m^{*} (S_{l})$

(1)
$m^{*} (ϕ) = 0$ はコメントで述べたように $| ϕ | = 0$ とおいたことからの帰結である.

(2)
$T$ をおおう長方形の系列 ${I_{1}, I_{2}, \dots, I_{n}, \dots}$ は,必ずまた $S$ をおおっていることに注意するとよい.

(1)
$任意の ϵ > 0 に対して I_{ϵ} = [0, ϵ) \times [0, ϵ) を考えると ϕ \subset I_{ϵ} より m^{*} (ϕ) \leq | I_{ϵ} | = ϵ^{2} である .$

$ϵ > 0 は任意なので m^{*} (ϕ) = 0 である .$

(2)
$T \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} I_{n} (I_{n} : 長方形) とすると$

$S \subset T \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} I_{n}$

であるので, $m^{*} (S)$ の定義から

$m^{*} (S) \leq \sum_{n = 1}^{\infty} | I_{n} |$

をえる.この不等式は $T \subset ⋃_{i = 1}^{\infty} I_{n}$ なる任意の長方形の列 $I_{n}$ に対して成り立つ.
そのため,右辺についてそのような長方形の列について $inf$ をとれば $m^{*} (S) \leq m^{*} (T)$ をえる.

第6講　ルベーグ内測度

内測度の性質

$J = S \cup (J \cap S^{c})$

$J = (S \cup S^{c}) \cap J = (S \cap J) \cup (S^{c} \cap J) = S \cup (J \cap S^{c}) ∵ S \subset J$

$T を含む長方形 J をとると, S \subset T から J \cap S^{c} \supset J \cap T^{c} が成り立つ .$

$S \subset T から, S^{c} \supset T^{c} である . 以上から, J \cap S^{c} \supset J \cap T^{c} が成り立つ .$

第10講　可測集合族

可測集合全体はボレル集合体をつくる

集合 $X$ の上に外測度 $m^{*}$ が与えられているとする.このとき, $m^{*}$ に関して可測な集合全体はボレル集合体をつくる.

(B1)をみたすこと：
可測の条件式に入れてみれば $ϕ \in M$ は明らかである.

(B1)をみたすこと：
$A = ϕ とすると, A^{c} = X である . m^{*} (E \cap A) + m^{*} (E \cap A^{c}) = m^{*} (E \cap ϕ) + m^{*} (E \cap X) = m^{*} (ϕ) + m^{*} (E) = m^{*} (E) 以上から, ϕ \in M であることから (B 1) をみたす .$

第11講　測度空間

増加列と減少列

$lim_{n \to \infty} B_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} (A_{1} - A_{n}) = A_{1} - ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}$

$lim_{n \to \infty} B_{n} = ⋃_{n = 1}^{\infty} (A_{1} - A_{n}) = (A_{1} - A_{1}) \cup (A_{1} - A_{2}) \cup (A_{1} - A_{3}) \cup \dots = (A_{1} \cap A_{1}^{c}) \cup (A_{1} \cap A_{2}^{c}) \cup (A_{1} \cap A_{3}^{c}) \cup \dots = A_{1} \cap (A_{1}^{c} \cup A_{2}^{c} \cup A_{3}^{c} \cup \dots) = A_{1} \cap (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap \dots)^{c} = A_{1} - ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}$

集合列の上極限と下極限

上極限と測度との関係は次のように与えられる.

(e)
$m (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) < \infty$ のとき

$m (\lim^{―} A_{n}) \geq \lim^{―} m (A_{n})$

(e):
$C_{1} = ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}$ , $C_{2} = ⋃_{k = 2}^{\infty} A_{k}$ , $\dots$ , $C_{n} = ⋃_{k = n}^{\infty} A_{k}$ , $\dots$ とおくと
$C_{1} \supset C_{2} \supset \dots C_{n} \supset \dots \to \lim^{―} A_{n}$

$C_{n} \supset A_{n}$
が成り立つ.(b)を用いると, 上と同様にして証明することができる.

$C_{n} \supset A_{n}$
が成り立つ.(b)を用いると,

$m (lim_{n \to \infty} C_{n}) = lim_{n \to \infty} m (C_{n}) = m (\lim^{―} A_{n})$

が成り立つ.一方, (ii)から

$m (C_{n}) \geq m (A_{n}) (n = 1, 2, 3, \dots)$

したがって, 両辺に現れた数列の上極限をとってみると, 実数列に関する上極限の性質から
$lim m (C_{n}) = \lim^{―} m (C_{n}) \geq \lim^{―} m (A_{n})$
が得られる.以上から,

$m (\lim^{―} A_{n}) \geq \lim^{―} (A_{n})$

第13講　可測集合の周辺

2つの可測性の一致

$J = K \cup (J \cap K^{c}) (共通点なし)$

$J = (K \cup K^{c}) \cap J = (K \cap J) \cup (K^{c} \cap J) = K \cup (K^{c} \cap J) ∵ K \subset J$

$m (K) = m (J) - m (J \cap K^{c}) = | J | - m (\tilde{G})$

$K = J \cap \tilde{G^{c}}$ とおいた.このとき, $K^{c} = J^{c} \cup \tilde{G}$ となる.以上から,

$J \cap K^{c} = J \cap (J^{c} \cup \tilde{G}) = (J \cap J^{c}) \cup (J \cap \tilde{G}) = ϕ \cup \tilde{G} = \tilde{G} ∵ \tilde{G} \subset J$

第18講　可測関数の積分

$φ (x) \geq ψ (x) \geq 0$ とする.このとき

$\int_{E} φ (x) m (d x) \geq \int_{E} ψ (x) m (d x) \geq 0$

実数 $a, b$ に対し

$\int_{E} (a φ (x) + b ψ (x)) m (d x) = a \int_{E} φ (x) m (d x) + b \int_{E} ψ (x) m (d x)$

$E \cap F = ϕ$ ならば

$\int_{E \cup F} φ (x) m (d x) = \int_{E} φ (x) m (d x) + \int_{F} φ (x) m (d x)$

この証明はどれも簡単なので特に述べない.

工事中

第19講　積分の基本定理

積分の基本定理

$f (x)$ を測度空間 $X (B, m)$ 上の可測関数で, $f (x) \geq 0$ を満たすものとする.単関数の増加列

$0 \leq φ_{1} (x) \leq φ_{2} (x) \leq \dots \leq φ_{n} (x) \leq \dots$

によって, $f (x)$ は

$f (x) = lim_{n \to \infty} φ_{n} (x)$
と表されているとする.このとき任意の $E \in B$ に対して

$\int_{E} f (x) m (d x) = lim_{n \to \infty} \int_{E} φ_{n} (x) m (d x)$

が成り立つ.

(i) $\int_{E} ψ (x) m (d x) < \infty$ のとき, このとき $m (E^{*}) < \infty$ である.

$\infty > \int_{E} ψ (x) m (d x) = \sum_{i = 1}^{s} α_{i} m (E \cap A_{i}) \geq min α_{i} \sum_{i = 1}^{s} m (E \cap A_{i}) = min α_{i} m (E^{*})$

$min α_{i} > 0$ より $m (E^{*}) < \infty$ である.

(ii) $\int_{E} ψ (x) m (d x) = \infty$ のとき,このときは $m (E^{*}) = \infty$ である.

$\infty = \int_{E} ψ (x) m (d x) = \sum_{i = 1}^{s} α_{i} m (E \cap A_{i}) \leq max α_{i} \sum_{i = 1}^{s} m (E \cap A_{i}) = max α_{i} m (E^{*})$

$max α_{i} > 0$ より $m (E^{*}) = \infty$ である.

$x \in B_{n}$ に対しては, $φ_{n} (x) \geq ψ (x) - ϵ \geq ϵ$ が成り立つから,

$\int_{E} φ_{n} m (d x) \geq ϵ m (E \cap B_{n})$

$\int_{E} φ_{n} (x) m (d x) = (\int_{E \cap B} + \int_{E \cap B^{c}}) φ_{n} (x) m (d x) \geq \int_{E \cap B} φ_{n} (x) m (d x) \geq \int_{E \cap B} ϵ m (d x) \geq ϵ m (E \cap B_{n})$

つづく...

参考文献

[1]

志賀浩二, ルベーグ積分30講, 数学30講シリーズ, 朝倉書店, 2017, pp. 1-239

[2]

松澤　寛, 大学院　解析学特論II　前期　月曜２限, 閲覧日 2021年9月11日, https://www.sci.kanagawa-u.ac.jp/math-phys/hmatsu/lecture.html

[3]

服部久美子, 解析C, 閲覧日 2021年9月14日, https://www.comp.tmu.ac.jp/kumiko/kaisekic.htm

投稿日：2021年9月10日

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第18講　可測関数の積分
第19講　積分の基本定理
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