数学に関して非専門なので数弱ですが,「ルベーグ積分30講」の行間埋めを試みてみます.記事の見方は囲み枠を補完してます.個人的には数学つよつよの人はこんな記事を書いて欲しいという願望もあったりします.間違い等がありましたらコメント等で教えて頂ければ幸いです.
ルベーグ外測度は次の基本的な性質をもつ.
(1)
(2)
(1)
(2)
であるので,
をえる.この不等式は
そのため,右辺についてそのような長方形の列について
集合
(B1)をみたすこと:
可測の条件式に入れてみれば
(B1)をみたすこと:
上極限と測度との関係は次のように与えられる.
(e)
(e):
が成り立つ.(b)を用いると, 上と同様にして証明することができる.
(e):
が成り立つ.(b)を用いると,
が成り立つ.一方, (ii)から
したがって, 両辺に現れた数列の上極限をとってみると, 実数列に関する上極限の性質から
が得られる.以上から,
この証明はどれも簡単なので特に述べない.
工事中
によって,
と表されているとする.このとき任意の
が成り立つ.
(i)
(ii)
つづく...