三角関数・逆三角関数に関する級数展開一覧

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誤植・誤謬あれば教えてください。収束半径等は明示しません。だいたい $1$ とか $\frac{π}{2}$ だと思いますたぶん。
新たな知見を得たら追加したいです。

$\begin{aligned} \sin^{- 1} x & = \sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n}) x^{2 n + 1}}{2^{2 n} (2 n + 1)} \\ (\sin^{- 1} x)^{2} & = \frac{1}{2} \sum_{0 < n} \frac{2^{2 n} x^{2 n}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} \\ (\sin^{- 1} x)^{3} & = 6 \sum_{0 \leq m < n} \frac{1}{(2 m + 1)^{2}} \frac{(\binom{2 n}{n}) x^{2 n + 1}}{2^{2 n} (2 n + 1)} \\ \frac{\sin^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = \sum_{0 < n} \frac{2^{2 n - 1} x^{2 n - 1}}{n (\binom{2 n}{n})} = \sum_{0 \leq n} \frac{2^{2 n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) (\binom{2 n}{n})} \\ \tan^{- 1} x & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{2 n + 1} \\ (\tan^{- 1} x)^{2} & = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq m < n} \frac{1}{2 m + 1} \frac{(- 1)^{n - 1} x^{2 n}}{n} \\ \frac{(\sin^{- 1} x)^{2 a - 1}}{(2 a - 1)!} & = \sum_{0 \leq n_{1} < \dots < n_{a}} \frac{1}{(2 n_{1} + 1)^{2} \dots (2 n_{a - 1} + 1)^{2}} \frac{(\binom{2 n_{a}}{n_{a}}) x^{2 n_{a} + 1}}{2^{2 n_{a}} (2 n_{a} + 1)} \\ \frac{(\sin^{- 1} x)^{2 a}}{(2 a)!} & = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{a}} \frac{1}{(2 n_{1})^{2} \dots (2 n_{a - 1})^{2}} \frac{2^{2 n_{a}} x^{2 n_{a}}}{(2 n_{a})^{2} (\binom{2 n_{a}}{n_{a}})} \\ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} x^{2 n} \\ \sum_{0 < n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n} x^{2 n} & = 2 \ln \frac{2}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}} \\ \sum_{0 < n} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n} n^{2}} x^{2 n} & = 2 \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{2}} {(\frac{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}{2})}^{n} - \ln^{2} \frac{2}{1 + \sqrt{1 - x^{2}}} \\ \frac{1}{a!} \ln^{a} \frac{1}{1 - x} & = \sum_{0 < n_{1} < \dots < n_{a}} \frac{x^{n_{a}}}{n_{1} \dots n_{a}} \\ (\sin^{- 1} x)^{2} & = \sum_{0 < n} \frac{(2 x)^{n}}{n^{2}} \cos (n \cos^{- 1} x) \\ 2 \sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n}) x^{2 n + 1}}{2^{2 n} (2 n + 1)^{2}} & = \sum_{0 < n} \frac{(2 x)^{n}}{n^{2}} \sin (n \cos^{- 1} x) \\ \sum_{0 \leq n} (\binom{4 n}{2 n}) \frac{\sin^{2 n} x}{2^{4 n}} & = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos x} \\ \sum_{0 \leq n} (\binom{3 n}{n}) \frac{2^{2 n}}{3^{3 n}} \sin^{2 n} x & = \frac{\cos \frac{x}{3}}{\cos x} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{{(\frac{1 - a}{2})}_{n} {(\frac{1 + a}{2})}_{n}}{{(\frac{3}{2})}_{n} n!} \sin^{2 n} x & = \frac{\sin a x}{a \sin x} \\ \frac{1}{\sin x} & = 2 \sum_{0 \leq n} \sin (2 n + 1) x \\ \frac{1}{\cos x} & = 2 \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} \cos (2 n + 1) x \\ \frac{1}{\tan x} & = 2 \sum_{0 < n} \sin 2 n x \\ \tan x & = 2 \sum_{0 < n} (- 1)^{n - 1} \sin 2 n x \\ \ln \frac{1}{2 \sin x} & = \sum_{0 < n} \frac{\cos 2 n x}{n} \\ \ln 2 \cos x & = \sum_{0 < n} \frac{(- 1)^{n - 1} \cos 2 n x}{n} \\ \ln \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} & = 2 \sum_{0 \leq n} \frac{\cos (2 n + 1) x}{2 n + 1} \\ \tanh^{- 1} \sin x & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} \sin (2 n + 1) x}{2 n + 1} \\ \sinh^{- 1} \sqrt{\sin x} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n}) \sin (2 n + 1) x}{2^{2 n} (2 n + 1)} \\ \cos^{- 1} \sqrt{\sin x} & = \sum_{0 \leq n} \frac{(\binom{2 n}{n}) \cos (2 n + 1) x}{2^{2 n} (2 n + 1)} \\ \sum_{0 < n} \frac{2^{2 n} \sin 2 n x}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} & = 4 \cos^{- 1} \sqrt{\sin x} \sinh^{- 1} \sqrt{\sin x} \\ \sum_{0 < n} \frac{2^{2 n} \cos 2 n x}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} & = 2 (\cos^{- 1} \sqrt{\sin x})^{2} - 2 (\sinh^{- 1} \sqrt{\sin x})^{2} \\ \frac{\tanh^{- 1} x}{1! \sqrt{1 - x^{2}}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{2 n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) (\binom{2 n}{n})} \sum_{m = 0}^{n} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{2}}{2^{4 m}} \\ \frac{(\tanh^{- 1} x)^{2}}{2! \sqrt{1 - x^{2}}} & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} x^{2 n} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{2^{4 m}}{(2 m + 1)^{2} {(\binom{2 m}{m})}^{2}} \sum_{l = 0}^{m} \frac{{(\binom{2 l}{l})}^{2}}{2^{4 l}} \\ \frac{(\tanh^{- 1} x)^{3}}{3! \sqrt{1 - x^{2}}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{2 n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) (\binom{2 n}{n})} \sum_{m = 0}^{n} \frac{{(\binom{2 m}{m})}^{2}}{2^{4 m}} \sum_{l = 0}^{m - 1} \frac{2^{4 l}}{(2 l + 1)^{2} {(\binom{2 l}{l})}^{2}} \sum_{k = 0}^{l} \frac{{(\binom{2 k}{k})}^{2}}{2^{4 k}} \\ \sum_{0 \leq m < n} \frac{(\binom{2 m}{m}) x^{2 m}}{2^{2 m}} \frac{2^{2 n}}{n^{2} (\binom{2 n}{n})} & = 4 \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - x^{2})^{n}}{(2 n + 1)^{2}} + \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}} \ln \frac{1}{1 - x^{2}} \ln \frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x} \\ \frac{π}{2} \frac{\tanh^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(\binom{2 n}{n})}{2^{2 n}} x^{2 n} (2 β (2) + \frac{1}{4} \sum_{m = 1}^{n} \frac{2^{4 m}}{m^{2} {(\binom{2 m}{m})}^{2}}) - \frac{2}{1 + x} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- \frac{1 - x}{1 + x})}^{n}}{(2 n + 1)^{2}} \end{aligned}$

投稿日：2021年9月10日

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