7

三角関数・逆三角関数に関する級数展開一覧

595
0
$$\newcommand{BA}[0]{\begin{align*}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol} \newcommand{D}[0]{\displaystyle} \newcommand{EA}[0]{\end{align*}} \newcommand{k}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{L}[0]{\left} \newcommand{l}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{m}[0]{\boldsymbol{m}} \newcommand{n}[0]{\boldsymbol{n}} \newcommand{R}[0]{\right} $$

誤植・誤謬あれば教えてください。収束半径等は明示しません。だいたい$1$とか$\dfrac{\pi}{2}$だと思いますたぶん。
新たな知見を得たら追加したいです。

$\BA \D    \sin^{-1}x&=\sum_{0\le n}\frac{\binom{2n}{n}x^{2n+1}}{2^{2n}(2n+1)}\\ (\sin^{-1}x)^2&=\frac{1}{2}\sum_{0< n}\frac{2^{2n}x^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}}\\ (\sin^{-1}x)^3&=6\sum_{0\le m< n}\frac{1}{(2m+1)^2}\frac{\binom{2n}{n}x^{2n+1}}{2^{2n}(2n+1)}\\ \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}&=\sum_{0< n}\frac{2^{2n-1}x^{2n-1}}{n\binom{2n}{n}} =\sum_{0\le n}\frac{2^{2n}x^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}\\ \tan^{-1}x&=\sum_{0\le n}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}\\ (\tan^{-1}x)^2&=\frac{1}{2}\sum_{0\le m< n}\frac{1}{2m+1}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n}}{n}\\ \frac{(\sin^{-1}x)^{2a-1}}{(2a-1)!}&= \sum_{0\le n_1<\cdots< n_a}\frac{1}{(2n_1+1)^2\cdots(2n_{a-1}+1)^2}\frac{\binom{2n_a}{n_a}x^{2n_a+1}}{2^{2n_a}(2n_a+1)}\\ \frac{(\sin^{-1}x)^{2a}}{(2a)!}&= \sum_{0< n_1<\cdots< n_a}\frac{1}{(2n_1)^2\cdots(2n_{a-1})^2}\frac{2^{2n_a}x^{2n_a}}{(2n_a)^2\binom{2n_a}{n_a}}\\ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&=\sum_{0\le n}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}x^{2n}\\ \sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}n}x^{2n}&=2\ln\frac{2}{1+\sqrt{1-x^2}}\\ \sum_{0< n}\frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}n^2}x^{2n}&= 2\sum_{0< n}\frac{1}{n^2}\L(\frac{1-\sqrt{1-x^2}}{2} \R)^n-\ln^2\frac{2}{1+\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{1}{a!}\ln^a\frac{1}{1-x} &=\sum_{0< n_1<\cdots< n_a}\frac{x^{n_a}}{n_1\cdots n_a}\\ (\sin^{-1}x)^2 &=\sum_{0< n}\frac{(2x)^n}{n^2}\cos(n \cos^{-1} x)\\ 2\sum_{0\le n}\frac{\binom{2n}{n}x^{2n+1}}{2^{2n}(2n+1)^2} &=\sum_{0< n}\frac{(2x)^n}{n^2}\sin(n \cos^{-1} x)\\ \sum_{0\le n} \binom{4n}{2n}\frac{\sin^{2n}x}{2^{4n}}&=\frac{\cos\frac{x}{2}}{\cos x}\\ \sum_{0\le n} \binom{3n}{n}\frac{2^{2n}}{3^{3n}}\sin^{2n}x&=\frac{\cos\frac{x}{3}}{\cos x}\\ \sum_{0\le n}\frac{\L(\frac{1-a}{2}\R)_n\L(\frac{1+a}{2}\R)_n}{\L(\frac{3}{2}\R)_nn!}\sin^{2n}x&=\frac{\sin ax}{a\sin x}\\ \frac{1}{\sin x}&=2\sum_{0\le n}\sin(2n+1)x\\ \frac{1}{\cos x}&=2\sum_{0\le n}(-1)^n\cos(2n+1)x\\ \frac{1}{\tan x}&=2\sum_{0< n}\sin2nx\\ \tan x&=2\sum_{0< n}(-1)^{n-1}\sin 2nx\\ \ln\frac{1}{2\sin x}&=\sum_{0< n}\frac{\cos2nx}{n}\\ \ln{2\cos x}&=\sum_{0< n}\frac{(-1)^{n-1}\cos2nx}{n}\\ \ln\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}&=2\sum_{0\le n}\frac{\cos(2n+1)x}{2n+1}\\ \tanh^{-1}\sin x&=\sum_{0\le n}\frac{(-1)^n\sin(2n+1)x}{2n+1}\\ \sinh^{-1}\sqrt{\sin x}&=\sum_{0\le n}\frac{\binom{2n}{n}\sin(2n+1)x}{2^{2n}(2n+1)}\\ \cos^{-1}\sqrt{\sin x}&=\sum_{0\le n}\frac{\binom{2n}{n}\cos(2n+1)x}{2^{2n}(2n+1)}\\ \sum_{0< n}\frac{2^{2n}\sin 2nx}{n^2\binom{2n}{n}}&=4\cos^{-1}\sqrt{\sin x}\,\sinh^{-1}\sqrt{\sin x}\\ \sum_{0< n}\frac{2^{2n}\cos 2nx}{n^2\binom{2n}{n}}&=2(\cos^{-1}\sqrt{\sin x})^2-2(\sinh^{-1}\sqrt{\sin x})^2\\ \frac{\tanh^{-1}x}{1!\sqrt{1-x^2}}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{2n}x^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}\sum_{m=0}^n\frac{\binom{2m}{m}^2}{2^{4m}}\\ \frac{(\tanh^{-1}x)^2}{2!\sqrt{1-x^2}} &=\sum_{n=1}^\infty \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}x^{2n}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{2^{4m}}{(2m+1)^2\binom{2m}{m}^2}\sum_{l=0}^m\frac{\binom{2l}{l}^2}{2^{4l}}\\ \frac{(\tanh^{-1}x)^3}{3!\sqrt{1-x^2}} &=\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n}x^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}\sum_{m=0}^n\frac{\binom{2m}{m}^2}{2^{4m}}\sum_{l=0}^{m-1}\frac{2^{4l}}{(2l+1)^2\binom{2l}{l}^2}\sum_{k=0}^l\frac{\binom{2k}{k}^2}{2^{4k}}\\ \sum_{0\le m< n}\frac{\binom{2m}{m}x^{2m}}{2^{2m}}\frac{2^{2n}}{n^2\binom{2n}{n}} &=4\sum_{0\le n}\frac{(1-x^2)^n}{(2n+1)^2}+\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}\ln\frac{1}{1-x^2}\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\\ \frac{\pi}{2}\frac{\tanh^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}& =\sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{2n}{n}}{2^{2n}}\,x^{2n}\left(2\beta(2)+\frac{1}{4}\sum_{m=1}^n\frac{2^{4m}}{m^2\binom{2m}{m}^2} \right)-\frac{2}{1+x}\sum_{n=0}^\infty \frac{\left(-\frac{1-x}{1+x} \right)^n}{(2n+1)^2} \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \D \\ \EA$

投稿日:2021910

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中