Γ関数とζ関数の関係式を一つ紹介

$Re(s)>1となる複素数sについて\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx= \Gamma(s)\zeta(s)$
この式から$\zeta(s)=\displaystyle \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx$となり、これは$\zeta$の定義式でもあります。

&&&prf
$\begin{align*} \displaystyle \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx &=\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}e^{-x}}{1-e^{-x}}dx\\ &=\displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{-x} \sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}dx\\ &=\displaystyle \int_{0}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty}e^{-kx}x^{s-1}dx\\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty}e^{-kx}x^{s-1}dx\\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty}e^{-y}\bigg(\frac{y}{k}\bigg)^{s-1}\frac{dy}{k}\\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} \int_{0}^{\infty}e^{-y}y^{s-1}dy \\ &=\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s} \Gamma(s)\\ &=\Gamma(s)\zeta(s)　　　　　（証明終） \end{align*}$