複素積分5

今回はこちらの積分を複素積分をつかって解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1436142542123253776?s=21

$I={\displaystyle {\int }_0^1\frac{\cos \log x}{1+x^2}dx}$
ここで${\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x}}$としたものは被積分関数が同じで積分区間が$[1,\infty )$
よって$2I={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{\cos \log x}{1+x^2}dx}$
$={\displaystyle \mathrm{Re}{\int }_0^{\infty }\frac{x^i}{1+x^2}dx}$
ここで私の記事“複素積分1”の公式を使って
$={\displaystyle \mathrm{Re}\frac{\pi }{2}\csc \frac{\pi (i+1)}{2}}$
また、$\sin$の加法定理と$\cos ix=\cosh x$となることを用いて
$I={\displaystyle \frac{\pi }{4\cosh \frac{\pi }{2}}}$が導けます。