複素積分5

今回はこちらの積分を複素積分をつかって解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1436142542123253776?s=21

$I=\displaystyle\int_0^1\frac{\cos\log x}{1+x^2}dx$
ここで$\displaystyle x\mapsto\frac{1}{x}$としたものは被積分関数が同じで積分区間が$[1,∞)$
よって$2I=\displaystyle\int_0^∞ \frac{\cos\log x}{1+x^2}dx$
$=\displaystyle\Re\int_0^∞ \frac{x^i}{1+x^2}dx$
ここで私の記事“複素積分1”の公式を使って
$=\displaystyle\Re\frac{\pi}{2}\csc{\frac{\pi(i+1)}{2}}$
また、$\sin$の加法定理と$\cos ix=\cosh x$となることを用いて
$I=\displaystyle\frac{\pi}{4\cosh\frac{\pi}{2}}$が導けます。