代数曲線論メモ (試しに記事を書いて見るテスト)

代数曲線論メモ

お試しでの記事作成として、
小木曽啓示 代数曲線論 を読んだメモ。

因子に付随する層

$D$ を $X$ 上の因子とする。 $X$ の各開集合 $U(\ne \varnothing )$ に対して
$${\mathcal{O}}_X(D)(U):=\{f\in \mathcal{M}(U)|\mathrm{div}(f)+D{|}_U\ge 0\}$$
とおき、自然な制限写像を考えると $\mathcal{O}(D)$ は層になる。これを因子 $D$ に付随する層という。

$D$ の正の成分が大事っぽい。正の成分があると、切断 $f\in {\mathcal{O}}_X(D)(U)$ として極を持つようなものが許される。例えばある点 $P\in X$ について $D=2P$ とすれば $f$ は $P$ において2位の極まで持ってもよい。（持たなくてもよい。）

いっぽう、負の成分は $f$ に零を持つことを強制する。$D=-2P$ とすれば $f$ は $P$ において2次以上の零を持たねばならない。

リーマン・ロッホの定理

左辺を層 ${\mathcal{O}}_X(D)$ のオイラー・ポアンカレ標数といい、$\chi ({\mathcal{O}}_X(D))$ と書く。
また、コンパクトリーマン面上の大域的正則関数は定数のみなので $h^0({\mathcal{O}}_X)=1$
であることから、$1-g=h^0({\mathcal{O}}_X)-h^1({\mathcal{O}}_X)=\chi ({\mathcal{O}}_X)$ が成り立つ。

よってリーマン・ロッホの定理は
$$\chi ({\mathcal{O}}_X(D))=\chi ({\mathcal{O}}_X)+\mathrm{deg}D$$
とも書ける。(こっちのほうが覚えやすい...!)

セールの双対定理

いくつかの層の同型

(テキスト: 注意6.37(172ページ))
$\omega$ を $X$ 上の 0 でない大域的有利型1形式とすると、 $K_X=\mathrm{div}(\omega )$ であり、
$$\begin{array}{rlr}{\mathcal{O}}_X(K_X)& \simeq {\mathrm{\Omega }}_X^1;& f⟷f\omega ,\\ {\mathcal{O}}_X(K_X+D)& \simeq {\mathrm{\Omega }}_X^1(D);& f⟷f\omega .\end{array}$$

定理からすぐに分かること

上の2番めの式で $D\to -D$ として、その次元をとればセールの双対定理の左辺の項が出るので、セールの双対定理はさらに
$$h^0({\mathcal{O}}_X(K_X-D))=h^0({\mathrm{\Omega }}_X^1(-D))=h^1({\mathcal{O}}_X(D))$$
とも書ける。これをリーマンロッホの定理に代入すれば
$$h^0({\mathcal{O}}_X(D))-h^0({\mathcal{O}}_X(K_X-D))=1-g+\mathrm{deg}D$$
となる。これは 1次のコホモロジーが出てこなくて、0次のコホモロジー (= 大域切断の空間)だけが出てくるので扱いやすい。
さて、次にセールの双対定理で $D=0$ とすると、
$$g\equiv h^1({\mathcal{O}}_X)=h^0({\mathrm{\Omega }}_X^1)=h^0({\mathcal{O}}_X(K_X)),$$
すなわち$X$ の種数 $g$ は $X$ 上の大域的正則1形式全体のなす線形空間の次元に等しい。
これをさらにリーマン・ロッホの定理で $D=K_X$ としたものに代入すると、
$$\underset{=g}{\underbrace{h^0({\mathcal{O}}_X(K_X))}}-\underset{=1}{\underbrace{h^0({\mathcal{O}}_X)}}=1-g+\mathrm{deg}{K}_X,$$
より、
$$\mathrm{deg}{K}_X=2g-2$$
を得る。