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代数曲線論メモ (試しに記事を書いて見るテスト)

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代数曲線論メモ

お試しでの記事作成として、
小木曽啓示 代数曲線論 を読んだメモ。

以下でリーマン面と言ったらコンパクトリーマン面のこととする。Xは大体、コンパクトリーマン面を指す。
X 上の正則関数のなす層を OX と記す。

因子に付随する層

DX 上の因子とする。 X の各開集合 U() に対して
OX(D)(U):={fM(U)|div(f)+D|U0}
とおき、自然な制限写像を考えると O(D) は層になる。これを因子 D に付随する層という。

D の正の成分が大事っぽい。正の成分があると、切断 fOX(D)(U) として極を持つようなものが許される。例えばある点 PX について D=2P とすれば fP において2位の極まで持ってもよい。(持たなくてもよい。)

いっぽう、負の成分は f に零を持つことを強制する。D=2P とすれば fP において2次以上の零を持たねばならない。

リーマン・ロッホの定理

リーマン・ロッホの定理

X を種数 g のコンパクトリーマン面とするとき、
h0(OX(D))h1(OX(D))=1g+degD.

ただし、
h0(OX(D)):=dimH0(X,OX(D))h1(OX(D)):=dimH1(X,OX(D))gg(X):=h1(OX):=dimH1(X,OX)

左辺を層 OX(D) のオイラー・ポアンカレ標数といい、χ(OX(D)) と書く。
また、コンパクトリーマン面上の大域的正則関数は定数のみなので h0(OX)=1
であることから、1g=h0(OX)h1(OX)=χ(OX) が成り立つ。

よってリーマン・ロッホの定理は
χ(OX(D))=χ(OX)+degD
とも書ける。(こっちのほうが覚えやすい...!)

セールの双対定理

セールの双対定理

h0(ΩX1(D))=h1(OX(D)).

X 上の 0 でない大域的有利型1形式の定める因子の線形同値類のことを KX と書き、X の標準因子という。

いくつかの層の同型

(テキスト: 注意6.37(172ページ))
ωX 上の 0 でない大域的有利型1形式とすると、 KX=div(ω) であり、
OX(KX)ΩX1;ffω,OX(KX+D)ΩX1(D);ffω.

定理からすぐに分かること

上の2番めの式で DD として、その次元をとればセールの双対定理の左辺の項が出るので、セールの双対定理はさらに
h0(OX(KXD))=h0(ΩX1(D))=h1(OX(D))
とも書ける。これをリーマンロッホの定理に代入すれば
h0(OX(D))h0(OX(KXD))=1g+degD
となる。これは 1次のコホモロジーが出てこなくて、0次のコホモロジー (= 大域切断の空間)だけが出てくるので扱いやすい。
さて、次にセールの双対定理で D=0 とすると、
gh1(OX)=h0(ΩX1)=h0(OX(KX)),
すなわちX の種数 gX 上の大域的正則1形式全体のなす線形空間の次元に等しい。
これをさらにリーマン・ロッホの定理で D=KX としたものに代入すると、
h0(OX(KX))=gh0(OX)=1=1g+degKX,
より、
degKX=2g2
を得る。

投稿日:2020118
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  1. 代数曲線論メモ
  2. 因子に付随する層
  3. リーマン・ロッホの定理
  4. セールの双対定理
  5. いくつかの層の同型
  6. 定理からすぐに分かること