Landauの定理

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気が向いたので記事を書くことにしました．今回は，解析数論の重要な結果である素数定理を拡張した定理，Landauの定理を紹介します．素数定理は，素数に関しての漸近公式を与える定理でした．主張を述べると次のようになります:

素数定理

正の数 $x$ 未満の素数の個数関数 $π (x)$ に対して，次の式が成り立つ:
$π (x) \sim \frac{x}{\log x} (x \to \infty) .$

つまり， $x$ 未満の素数の個数を $\frac{x}{\log x}$ で近似できることを示した式です．そして，Landauの定理とはこの定理を拡張したものになります．どのように拡張するかと言いますと，素数ではなく，素因数の個数を固定した合成数に拡張します．

素因数を $k$ 個に固定した合成数で $x$ 未満の自然数の個数を $π_{k} (x)$ とする．つまり，
$π_{k} (x) = # {p_{1} p_{2} \dots p_{k} < x | p_{1} \leq p_{2} \leq \dots \leq p_{k}, p_{i} : 素数 (i = 1, 2, \dots, k)}$
と定義する．

$π_{2} (10) = # {4, 6, 9} = 3, π_{3} (35) = # {8, 12, 18, 20, 27, 28, 30} = 7$

このような合成数に対して，Landauは漸近公式を導きました．それが次の主張です．

Landauの定理

$π_{k} (x)$ に対して，次の式が成り立つ:
$π_{k} (x) \sim \frac{x (\log \log x)^{k - 1}}{(k - 1)! \log x} (x \to \infty) .$

これも素数定理と同じように， $π_{k} (x)$ が $\frac{x (\log \log x)^{k - 1}}{(k - 1)! \log x}$ で近似できることを表します．もちろん， $k = 1$ とすると， $π_{1} (x) = π (x)$ ですから，Landauの定理は素数定理に一致します．

証明の概略だけお話しします．私が知っている限り，証明方法は3通りあります．証明をした人はそれぞれ，Landau,Wright,Mai.です．そうです，3つのうちの1つは私が発見しました．世に認められた論文として書いていませんので，合っているかは不明ですが...

Landauは $π_{k} (x)$ と $π_{k - 1} (x)$ の関係に注目して，数学的帰納法を用いて証明しました．
$π_{k} (x) = \sum_{p < x} π_{k - 1} (\frac{x}{p}) + (誤差項)$
のように1つ下に落とし，和を積分に書き直すことで証明しました．

Wrightは補助関数
$ϑ_{k} (x) = \sum_{p_{1} \dots p_{k} < x} \log (p_{1} \dots p_{k})$
を用いて，
$k ϑ_{k + 1} (x) = (k + 1) \sum_{p_{1} \leq x} ϑ (\frac{x}{p_{1}})$
を示し，
$ϑ_{k} (x) \sim k x (\log \log x)^{k - 1}$
を数学的帰納法で示しました．そのほかにも補助関数は出てきますが，おおむねこの関数の漸近からLandauの定理は導かれます．