Landauの定理
気が向いたので記事を書くことにしました．今回は，解析数論の重要な結果である素数定理を拡張した定理，Landauの定理を紹介します．素数定理は，素数に関しての漸近公式を与える定理でした．主張を述べると次のようになります:
正の数$x$未満の素数の個数関数$\pi (x)$に対して，次の式が成り立つ:
\begin{equation}
\pi (x)\sim \dfrac{x}{\log x}\ (x\to \infty).
\end{equation}
つまり，$x$未満の素数の個数を$\dfrac{x}{\log x}$で近似できることを示した式です．そして，Landauの定理とはこの定理を拡張したものになります．どのように拡張するかと言いますと，素数ではなく，素因数の個数を固定した合成数に拡張します．
素因数を$k$個に固定した合成数で$x$未満の自然数の個数を$\pi _{k}(x)$とする．つまり，
$$\pi _{k}(x)=\#\{p_{1}p_{2}\cdots p_{k}< x \ |\ p_{1}\leq p_{2}\leq \cdots \leq p_{k},\ p_{i}:素数(i=1,2,\ldots,k)\}$$
と定義する．
$\pi _{2}(10)=\#\{4,6,9\}=3,\ \pi _{3}(35)=\#\{8,12,18,20,27,28,30\}=7$
このような合成数に対して，Landauは漸近公式を導きました．それが次の主張です．
$\pi _{k}(x)$に対して，次の式が成り立つ:
$$\pi _{k}(x)\sim \dfrac{x(\log \log x)^{k-1}}{(k-1)!\log x}\ (x \to \infty).$$
これも素数定理と同じように，$\pi _{k}(x)$が$\dfrac{x(\log \log x)^{k-1}}{(k-1)!\log x}$で近似できることを表します．もちろん，$k=1$とすると，$\pi _{1}(x)=\pi (x)$ですから，Landauの定理は素数定理に一致します．
証明の概略だけお話しします．私が知っている限り，証明方法は3通りあります．証明をした人はそれぞれ，Landau,Wright,Mai.です．そうです，3つのうちの1つは私が発見しました．世に認められた論文として書いていませんので，合っているかは不明ですが...
Landauは$\pi _{k}(x)$と$\pi _{k-1}(x)$の関係に注目して，数学的帰納法を用いて証明しました．
$$\pi _{k}(x)=\sum_{p< x}\pi_{k-1}\left(\dfrac{x}{p}\right)+(誤差項)$$
のように1つ下に落とし，和を積分に書き直すことで証明しました．
Wrightは補助関数
$$\vartheta _{k}(x)=\sum_{p_{1}\cdots p_{k}< x}\log (p_{1}\cdots p_{k})$$
を用いて，
$$k\vartheta_{k+1}(x)=(k+1)\sum_{p_{1}\leq x}\vartheta \left(\dfrac{x}{p_{1}}\right)$$
を示し，
$$\vartheta _{k}(x)\sim kx(\log \log x)^{k-1}$$
を数学的帰納法で示しました．そのほかにも補助関数は出てきますが，おおむねこの関数の漸近からLandauの定理は導かれます．
最後の方法は，私Mai.が見つけた方法です．発想はLandauとかなり近いものになっています．一応調べた限りでは同じ証明方法は見つからなかったので，ここで公表することはしません．方法としましては，Landauと同様に1つ下に落とす方法です．
以上で，Landauの定理とその証明の概要についてお話ししました．
また機会があれば記事を書きます．ありがとうございました．