級数で表される定数に関する考察

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この記事では, 最近興味を持っている, 以下の級数で定義される定数の表示について考えたいと思う.
$\begin{array}{r} C := \sum_{0 < n} \ln^{2} (1 + \frac{1}{n}) = 0.97718918326893655446 \dots \end{array}$

まず, 以下の表示が成り立つ.

$\begin{array}{r} C = \frac{π^{2}}{3} - \sum_{0 < n} {Li}_{2} (\frac{1}{n^{2}}) \end{array}$

${Li}_{2}$ の接続公式
$\begin{array}{r} {Li}_{2} (z) + {Li}_{2} (\frac{z}{z - 1}) = - \frac{1}{2} \ln^{2} (1 - z) \end{array}$
を $z = - \frac{1}{n}$ として用いて,
$\begin{array}{rcl} \sum_{0 < n} \ln^{2} (1 + \frac{1}{n}) & = & - 2 \sum_{0 < n} ({Li}_{2} (- \frac{1}{n}) + {Li}_{2} (\frac{1}{n + 1})) \\ = & 2 {Li}_{2} (1) - 2 \sum_{0 < n} ({Li}_{2} (\frac{1}{n}) + {Li}_{2} (- \frac{1}{n})) \\ = & \frac{π^{2}}{3} - \sum_{0 < n} {Li}_{2} (\frac{1}{n^{2}}) \end{array}$

次に以下の命題が成り立つ.

$| x | \leq 1$ に対し,
$\begin{array}{r} \sum_{0 < n} {Li}_{2} (\frac{x^{2}}{n^{2}}) = \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n^{2}} x^{2 n} \end{array}$

以下の式変形により示される.
$\begin{array}{rcl} \sum_{0 < n} {Li}_{2} (\frac{x^{2}}{n^{2}}) & = & \sum_{0 < n} \sum_{0 < k} \frac{1}{k^{2}} {(\frac{x^{2}}{n^{2}})}^{k} \\ = & \sum_{0 < k} \frac{x^{2 k}}{k^{2}} \sum_{0 < n} \frac{1}{n^{2 k}} \\ = & \sum_{0 < k} \frac{x^{2 k}}{k^{2}} ζ (2 k) \end{array}$

上の命題の右辺は, さらに次のように変形される.

$| x | \leq 1$ に対し,
$\begin{array}{rc} \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n^{2}} x^{2 n} & = 2 \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln (\frac{π t}{\sin π t}) d t \end{array}$

Maclaurin展開
$\begin{array}{rc} π \cot π x & = \frac{1}{x} - 2 \sum_{0 < n} ζ (2 n) x^{2 n - 1} \end{array}$
より,
$\begin{array}{rcl} \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n} x^{2 n} & = & 2 \sum_{0 < n} ζ (2 n) \int_{0}^{x} t^{2 n - 1} d t \\ = & \int_{0}^{x} (\frac{1}{t} - π \cot π t) d t \\ = & {[\ln (\frac{π t}{\sin π t})]}_{0}^{x} \\ = & \ln (\frac{π x}{\sin π x}) \end{array}$
これより,
$\begin{array}{rcl} \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n^{2}} x^{2 n} & = & 2 \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n} \int_{0}^{x} t^{2 n - 1} d t \\ = & 2 \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln (\frac{π t}{\sin π t}) d t \end{array}$

部分積分により,
$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln (\frac{π t}{\sin π t}) d t & = & \ln x \ln (\frac{π x}{\sin π x}) - \int_{0}^{x} (\frac{1}{t} - π \cot π t) \ln t d t \end{array}$
と書き換えることもできる.

一方, 最初の定数の部分を拡張すると以下の級数表示を得る.

$\begin{array}{rcl} \sum_{0 < n} \ln^{2} (1 + \frac{x}{n}) & = & 2 \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} H_{n - 1}}{n} ζ (n) x^{n} \end{array}$

$\begin{array}{r} \ln^{2} (1 + z) = 2 \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} H_{n - 1}}{n} z^{n} \end{array}$
に $z = \frac{x}{n}$ として用いればよい.

これは以下の積分表示を持つ.

調和数を $H_{n} := 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$ とする.
$\begin{array}{r} \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} H_{n - 1}}{n} ζ (n) x^{n} = \int_{0}^{1} \ln (\frac{Γ (1 + x)}{Γ (1 + x t)}) \frac{d t}{1 - t} - \int_{0}^{1} \frac{\ln Γ (1 + x t)}{t} d t \end{array}$

対数ガンマ関数のMaclaurin展開から始める.
$\begin{array}{r} \ln Γ (1 + x) = - γ x + \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} ζ (n)}{n} x^{n} \end{array}$
ここで, $γ$ はEulerの定数 $γ = 0.5772156649 \dots$ である. これを用いて,

$\begin{array}{rcl} \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} H_{n - 1}}{n} ζ (n) x^{n} & = & \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n}}{n} ζ (n) x^{n} \int_{0}^{1} \frac{1 - t^{n - 1}}{1 - t} d t \\ = & \int_{0}^{1} (γ x + \ln Γ (1 + x) - \frac{γ x t + \ln Γ (1 + x t)}{t}) \frac{d t}{1 - t} \\ = & \int_{0}^{1} (\frac{\ln Γ (1 + x)}{1 - t} - \frac{\ln Γ (1 + x t)}{t (1 - t)}) d t \\ = & \int_{0}^{1} \ln (\frac{Γ (1 + x)}{Γ (1 + x t)}) \frac{d t}{1 - t} - \int_{0}^{x} \frac{\ln Γ (1 + t)}{t} d t \end{array}$

これによって, 元の級数が2つの積分の和に分解できたことになる. まず, 第2項を考える. 対数ガンマ関数のMaclaurin展開より, 以下の等式が得られる.

$| x | \leq 1$ に対し, 以下の等式が成り立つ.
$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} \frac{\ln Γ (1 + t)}{t} d t = - γ x + \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} ζ (n)}{n^{2}} x^{n} \end{array}$

また, 部分積分により,

$\begin{array}{r} \int_{0}^{x} \frac{\ln Γ (1 + t)}{t} d t = \ln x \ln Γ (1 + x) - \int_{0}^{x} ψ (1 + t) \ln t d t \end{array}$
と表すこともできる. これを用いて以下のように命題2に現れる和を表すことができる.

関数 $f (x)$ を,
$\begin{array}{r} f (x) := \int_{0}^{x} \frac{\ln Γ (1 + t)}{t} d t \end{array}$
と定義する. このとき,
$\begin{array}{r} \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n^{2}} x^{2 n} = 2 (f (x) + f (- x)) \end{array}$

まとめ

最後に, 得られた表示をまとめておく.

$\begin{array}{rcl} C & = & \frac{π^{2}}{3} - \sum_{0 < n} {Li}_{2} (\frac{1}{n^{2}}) \\ = & \frac{π^{2}}{3} - \sum_{0 < n} \frac{ζ (2 n)}{n^{2}} \\ = & \frac{π^{2}}{3} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{t} \ln (\frac{π t}{\sin π t}) d t \\ = & \frac{π^{2}}{3} + 2 \int_{0}^{1} (\frac{1}{t} - π \cot π t) \ln t d t \\ = & 2 \sum_{1 < n} \frac{(- 1)^{n} H_{n - 1}}{n} ζ (n) \end{array}$