級数で表される定数に関する考察
この記事では, 最近興味を持っている, 以下の級数で定義される定数の表示について考えたいと思う.
$$\begin{eqnarray*}
C:=\sum_{0< n}\ln^2\left(1+\frac 1n\right)=0.97718918326893655446\dots
\end{eqnarray*}$$
まず, 以下の表示が成り立つ.
$$\begin{eqnarray*} C=\frac{\pi^2}{3}-\sum_{0< n}\Li_2\left(\frac 1{n^2}\right) \end{eqnarray*}$$
$\Li_2$の接続公式
$$\begin{eqnarray*}
\Li_2(z)+\Li_2\left(\frac{z}{z-1}\right)=-\frac 12\ln^2(1-z)
\end{eqnarray*}$$
を$z=-\frac 1n$として用いて,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\ln^2\left(1+\frac 1n\right)&=&-2\sum_{0< n}\left(\Li_2\left(-\frac 1n\right)+\Li_2\left(\frac 1{n+1}\right)\right)\\
&=&2\Li_2(1)-2\sum_{0< n}\left(\Li_2\left(\frac 1n\right)+\Li_2\left(-\frac 1n\right)\right)\\
&=&\frac{\pi^2}3-\sum_{0< n}\Li_2\left(\frac 1{n^2}\right)
\end{eqnarray*}$$
次に以下の命題が成り立つ.
$|x|\leq 1$に対し,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\Li_2\left(\frac{x^2}{n^2}\right)=\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n^2}x^{2n}
\end{eqnarray*}$$
以下の式変形により示される.
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\Li_2\left(\frac{x^2}{n^2}\right)&=&\sum_{0< n}\sum_{0< k}\frac{1}{k^2}\left(\frac{x^2}{n^2}\right)^k\\
&=&\sum_{0< k}\frac{x^{2k}}{k^2}\sum_{0< n}\frac 1{n^{2k}}\\
&=&\sum_{0< k}\frac{x^{2k}}{k^2}\zeta(2k)\\
\end{eqnarray*}$$
上の命題の右辺は, さらに次のように変形される.
$|x|\leq 1$に対し,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n^2}x^{2n}&=2\int_0^x\frac 1t\ln\left(\frac{\pi t}{\sin\pi t}\right)\,dt
\end{eqnarray*}$$
Maclaurin展開
$$\begin{eqnarray*}
\pi\cot\pi x&=\frac 1x-2\sum_{0< n}\zeta(2n)x^{2n-1}
\end{eqnarray*}$$
より,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n}x^{2n}&=&2\sum_{0< n}\zeta(2n)\int_0^xt^{2n-1}\,dt\\
&=&\int_0^x\left(\frac 1t-\pi\cot\pi t\right)\,dt\\
&=&\left[\ln\left(\frac{\pi t}{\sin\pi t}\right)\right]_0^x\\
&=&\ln\left(\frac{\pi x}{\sin\pi x}\right)
\end{eqnarray*}$$
これより,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n^2}x^{2n}&=&2\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n}\int_0^xt^{2n-1}\,dt\\
&=&2\int_0^x\frac 1t\ln\left(\frac{\pi t}{\sin\pi t}\right)\,dt
\end{eqnarray*}$$
部分積分により,
$$\begin{eqnarray*}
\int_0^x\frac 1t\ln\left(\frac{\pi t}{\sin\pi t}\right)\,dt&=&\ln x\ln\left(\frac{\pi x}{\sin\pi x}\right)-\int_0^x\left(\frac 1t-\pi\cot\pi t\right)\ln t\,dt
\end{eqnarray*}$$
と書き換えることもできる.
一方, 最初の定数の部分を拡張すると以下の級数表示を得る.
$$\begin{eqnarray*} \sum_{0< n}\ln^2\left(1+\frac xn\right)&=&2\sum_{1< n}\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n}\zeta(n)x^n \end{eqnarray*}$$
$$\begin{eqnarray*}
\ln^2(1+z)=2\sum_{1< n}\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n}z^n
\end{eqnarray*}$$
に$z=\frac xn$として用いればよい.
これは以下の積分表示を持つ.
調和数を$H_n:=1+\frac 12+\cdots+\frac 1n$とする.
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{1< n}\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n}\zeta(n)x^n=\int_0^1\ln\left(\frac{\Gamma(1+x)}{\Gamma(1+xt)}\right)\,\frac{dt}{1-t}-\int_0^1\frac{\ln\Gamma(1+xt)}{t}\,dt
\end{eqnarray*}$$
対数ガンマ関数のMaclaurin展開から始める.
$$\begin{eqnarray*}
\ln\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{1< n}\frac{(-1)^n\zeta(n)}nx^n
\end{eqnarray*}$$
ここで, $\gamma$はEulerの定数$\gamma=0.5772156649\dots$である. これを用いて,
$$\begin{eqnarray*} \sum_{1< n}\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n}\zeta(n)x^n&=&\sum_{1< n}\frac{(-1)^n}{n}\zeta(n)x^n\int_0^1\frac{1-t^{n-1}}{1-t}\,dt\\ &=&\int_0^1\left(\gamma x+\ln\Gamma(1+x)-\frac{\gamma xt+\ln\Gamma(1+xt)}{t}\right)\,\frac{dt}{1-t}\\ &=&\int_0^1\left(\frac{\ln\Gamma(1+x)}{1-t}-\frac{\ln\Gamma(1+xt)}{t(1-t)}\right)\,dt\\ &=&\int_0^1\ln\left(\frac{\Gamma(1+x)}{\Gamma(1+xt)}\right)\,\frac{dt}{1-t}-\int_0^x\frac{\ln\Gamma(1+t)}{t}\,dt \end{eqnarray*}$$
これによって, 元の級数が2つの積分の和に分解できたことになる. まず, 第2項を考える. 対数ガンマ関数のMaclaurin展開より, 以下の等式が得られる.
$|x|\leq 1$に対し, 以下の等式が成り立つ.
$$\begin{eqnarray*}
\int_0^x\frac{\ln\Gamma(1+t)}{t}\,dt=-\gamma x+\sum_{1< n}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{n^2}x^n
\end{eqnarray*}$$
また, 部分積分により,
$$\begin{eqnarray*}
\int_0^x\frac{\ln\Gamma(1+t)}{t}\,dt=\ln x\ln\Gamma(1+x)-\int_0^x\psi(1+t)\ln t\,dt
\end{eqnarray*}$$
と表すこともできる. これを用いて以下のように命題2に現れる和を表すことができる.
関数$f(x)$を,
$$\begin{eqnarray*}
f(x):=\int_0^x\frac{\ln\Gamma(1+t)}{t}\,dt
\end{eqnarray*}$$
と定義する. このとき,
$$\begin{eqnarray*}
\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n^2}x^{2n}=2(f(x)+f(-x))
\end{eqnarray*}$$
まとめ
最後に, 得られた表示をまとめておく.
$$\begin{eqnarray*} C&=&\frac{\pi^2}{3}-\sum_{0< n}\Li_2\left(\frac 1{n^2}\right)\\ &=&\frac{\pi^2}3-\sum_{0< n}\frac{\zeta(2n)}{n^2}\\ &=&\frac{\pi^2}3-2\int_0^1\frac 1t\ln\left(\frac{\pi t}{\sin\pi t}\right)\,dt\\ &=&\frac{\pi^2}3+2\int_0^1\left(\frac 1t-\pi\cot\pi t\right)\ln t\,dt\\ &=&2\sum_{1< n}\frac{(-1)^nH_{n-1}}{n}\zeta(n) \end{eqnarray*}$$