さいころの目の積が30の倍数になる確率？

　この記事では, 受験数学でありがちな, さいころの目の積について考えていこうと思います.

　素因数としてありえるものは$2,3,5$しかありませんから, これらを$x,y,z$とおきましょう. (←これが何言ってるか分からなくてもしばし我慢してみてください) そして, 以下のような式を考えます.

$$f(x,y,z)=(1+x+y+x^2+z+xy{)}^n$$

　これを展開することを考えると, $n$乗の展開というのは, この$6$項のうちからどれかを選らんで掛け合わせるのを$n$回繰り返すのですから, 場合の数の計算と同等になります.
　つまり, 例えば積が$15$になる場合の数はこれの$yz$の係数ですし, 積が$120$になる場合の数は$x^{3}yz$の係数に等しくなります！

積が偶数になる確率

　まずは積が偶数になる確率を求めてみましょう. これは簡単で, $x$が$1$つ以上含まれているものの係数の和を求めれば良いのですから, 逆に全体から, $x$に関する定数項を引けば良いです. 従って, (係数を求めるために$y,z$には$1$を代入します)

$$f(1,1,1)-f(0,1,1)=6^n-3^n$$

が場合の数であり, 確率は${\displaystyle 1-\frac{1}{2^n}}$となります.

積が$4$の倍数になる確率

　これは問題集とかでは頻出でしょうか. 普通なら並べ方とかを考えるのですが, この考え方を使うともっと楽に解くことができます！
　今度は$x$の定数項と, $x^1$の係数を全体から引けば良いのですが, ここで「微分して$x=0$とすると$x$の係数のみが出てくる」ことを利用します！ついでに毎回$y=z=1$とするのも面倒なので$F(x)=f(x,1,1)=(x^2+2x+3{)}^n$とおいて,

$$\begin{array}{rcl}& & F(1)-F(0)-F^{\prime }(0)\\ & =& 6^n-3^n-2n\cdot 3^{n-1}\end{array}$$
が場合の数であり, 確率は${\displaystyle 1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{3\cdot 2^{n-1}}}$となります.

積が$8$の倍数になる確率

　これは真面目にやると計算が激しすぎるでしょうね. 今度は$x^2$の係数は, $2$階微分で$x=0$としたものの$\frac{1}{2}$倍であることに注意して,

$$\begin{array}{rcl}& & F(1)-F(0)-F^{\prime }(0)-\frac{1}{2}{F}^{″}(0)\\ & =& 6^n-3^n-2n\cdot 3^{n-1}-n(2n+1)3^{n-2}\end{array}$$
より, 確率は${\displaystyle 1-\frac{1}{2^n}-\frac{n}{3\cdot 2^{n-1}}-\frac{n(2n+1)}{9\cdot 2^n}}$となります.

積が$20$の倍数になる確率

　これは昔, 東大で出たのでしたっけ. $x^{2}z$以上の係数を求めれば良いですね. これにはまず$f$から$z$に関する定数項を除いたものを$G(x)=f(x,1,1)-f(x,1,0)=(x^2+2x+3{)}^n-(x^2+2x+2{)}^n$とした上で, $G(x)$の定数項と$x$の係数を除いて,

$$\begin{array}{rcl}& & G(1)-G(0)-G^{\prime }(0)\\ & =& 6^n-5^n-(3^n-2^n)-(2n\cdot 3^{n-1}-2n\cdot 2^{n-1})\\ & =& 6^n-5^n-(2n+3)3^{n-1}+(n+1)2^n\end{array}$$
なので, 確率は${\displaystyle 1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-\frac{2n+3}{3\cdot 2^n}+\frac{n+1}{3^n}}$となります.

積が$30$の倍数になる確率

　いよいよ本題です. $xyz$以上の係数を求めれば良いですね. $x,y,z$それぞれに関する定数項を引いてあげれば良いのですが, それだと引きすぎなので$x=y=0$としたものをその分足してあげて...と, 包除原理みたいにしてやれば良いです. 即ち

$$\begin{array}{rcl}& & \sum _{x,y,z\in \{0,1\}}(-1{)}^{x+y+z+1}f(x,y,z)\\ & =& 6^n-3^n-4^n-5^n+2^n+3^n+2^n-1\end{array}$$
なので, 確率は${\displaystyle 1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^n-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+2{\left(\frac{1}{3}\right)}^n-{\left(\frac{1}{6}\right)}^n}$となります.

　ここまで読んでくださった方, ありがとうございました. こういう風にあえて変数にして母関数をとると, 代入や微分によって面白い結果を得られることがあります.
　この方法を利用すると, 例えば目の数字が「$1,2,2,4$」である四面体のさいころを$n$回振って, 目の積が$2$でちょうど$k$回割れる確率は${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{k})}$, とかも簡単にわかりますね.

　興味のある方は 私の過去の記事 もご覧ください. 同じような手法で解ける問題をもうひとつ紹介しています.