文献あり

自己紹介とコーシーの関数方程式の紹介

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はじめに

初めましてこんにちは、AGAです。
A・・・Analysis(解析学)
G・・・Geometry(幾何学)
A・・・Algebra(代数学))
ということで、間接的に全ての数学を表したつもりです。ハゲではないので、「アガ」「すうがく」「解幾代」などのように読んでいただけると助かります
中学生をやっていて数学は全体的に好きです(2021/12/19現在)。
ただ、飽きっぽく忘れやすいです。

関数方程式とは？

関数方程式というのは関数を求める方程式のことです。
たとえば、いわゆる円の方程式 $x^{2} + y^{2} = 1$ の $y$ を $f (x)$ とした
$x^{2} + (f (x))^{2} = 1$ としたものも関数方程式になります。
この場合、解は $f (x) = \pm \sqrt{1 - x^{2}}$ となります。

コーシーの関数方程式

もう本題です

コーシーの関数方程式

$f (x + y) = f (x) + f (y)$
という関数方程式をコーシーの関数方程式という

線形性の定義そのままだから $f (x) = a x (a は定数)$ で満たしそうですが
方程式だから全ての解を求める必要があります。
そのため１から考えます

自然数の範囲

自然数では数学的帰納法がうまく使えます

$f (x)$ がコーシーの関数方程式を満たすとき
任意の自然数 $n$ について $f (n x) = n f (x)$

$n = 1$ のとき
式は $f (x) = f (x)$ となり自明
$n = k$ のとき式が成り立つとすると
$f ((k + 1) x) = f (k x + x)$
$= f (k x) + f (x)$
$= k f (x) + f (x)$
$= (k + 1) f (x)$ から、
$n = k + 1$ の時も成り立つ
数学的帰納法から、任意の自然数 $n$ について $f (n x) = n f (x)$

整数の範囲

整数の範囲では1つ補題を作るとうまくいきます

$f (0) = 0$
$f (- x) = - f (x)$

$f (0) + f (0) = f (0 + 0)$ から
$∴ f (0) = 0$

$f (- x) + f (x) = f (x - x)$ から
$f (- x) + f (x) = f (0)$
$f (- x) + f (x) = 0$
$∴ f (- x) = - f (x)$

$f (x)$ がコーシーの関数方程式を満たすとき
任意の整数 $n$ について $f (n x) = n f (x)$

$n > 0$ のとき
自然数の議論から

$n = 0$ のとき
上の補題2から

$n < 0$ のとき
上の補題2から
$f (n x) = - f (- n x)$
$- n > 0$ から
$- f (- n x) = - (- n f (x)) = n f (x)$

以上から、任意の整数 $n$ について $f (n x) = n f (x)$

有理数の範囲

$f (x)$ がコーシーの関数方程式を満たすとき
任意の有理数 $r$ について $f (r x) = r f (x)$

任意の整数 $m, n$ について
$m f (\frac{n}{m} x) = f (n x) = n f (x)$
両辺を $m$ で割って
$f (\frac{n}{m} x) = \frac{n}{m} f (x)$
すなわち、任意の有理数 $r$ について $f (r x) = r f (x)$

ここからすぐに、任意の有理数 $r$ について $f (r) = r f (1)$ がわかり、
$f (1)$ は定数だから $a = f (1)$ とすると $f (r) = a r$ がいえる。

$f (x)$ を連続関数とするとコーシーの関数方程式を満たす実関数は $f (x) = x$ しかありません。
しかし、連続関数を仮定しないと無数に病的な関数が存在するらしいです。

応用

コーシーの関数方程式にはいくつか派生したものがあります。
以下 $a$ を定数とします

1つ目

$f (x + y) = f (x) f (y)$
$f (x) = e^{g (x)}$ とすると、
$e^{g (x + y)} = e^{g (x)} e^{g (y)}$
$e^{g (x + y)} = e^{g (x) + g (y)}$
$g (x + y) = g (x) + g (y)$
とコーシーの関数方程式の形に帰着できます。
解は $f (x) = a^{x} (a \geq 0)$ です。

2つ目

$f (x y) = f (x) + f (y)$
$f (x) = g (\log x)$ とすると、
$g (\log x y) = g (\log x) + g (\log y)$
$g (\log x + \log y) = g (\log x) + g (\log y)$
とコーシーの関数方程式の形に帰着できます
解は $f (x) = \log_{a} | x |, 0$ です。

3つ目

$f (x y) = f (x) f (y)$
$f (x) = e^{g (\log x)}$ とすると
$e^{g (\log x y)} = e^{g (\log x)} e^{g (\log y)}$
$e^{g (\log x + \log y)} = e^{g (\log x) + g (\log y)}$
$g (\log x + \log y) = g (\log x) + g (\log y)$
とコーシーの関数方程式の形に帰着できます
解は $f (x) = x^{a}, 0$ です。