Dirichlet beta 関数の解析接続

本日は題名にある通りです。早速やっていきます。

扱う複素関数を${\displaystyle f(z)=\frac{z^{s-1}}{\cosh z}}$と定義し、積分路$H$で積分します。尚、$H$はHankelの積分路です。
実軸の正の無限大から0に向かう積分路を$H_1$、0周りを十分小さな半径で回る積分路を$H_2$、実軸の0から正の無限大に向かう積分路を$H_3$とすると、${\displaystyle {\int }_{H_2}\to 0}$となることより、
${\displaystyle {\oint }_H=2(\exp \left(2\pi is\right)-1)\mathrm{\Gamma }(s)\beta (s)}$
ここで、${\displaystyle \mathcal{M}[\frac{1}{\cosh t}](s)=2\mathrm{\Gamma }(s)\beta (s)}$を用いました。
よって、次の式が成り立ちます。
${\displaystyle \beta (s)=\frac{1}{2}\exp (-\pi is)\mathrm{\Gamma }(1-s)\mathrm{Res}[f(z)]}$
ここで双曲線関数の級数展開を使い、$s=-2m$とすることによって${\displaystyle \beta (-2m)=\frac{1}{2}{E}_{2m}}$
級数展開では触れられていない奇数項は全てゼロなので
${\displaystyle \beta (-m)=\frac{1}{2}{E}_m}$
となります。
最後まで見てくださってありがとうございました。