Dirichlet beta 関数の解析接続

本日は題名にある通りです。早速やっていきます。

扱う複素関数を$\displaystyle f(z)=\frac{z^{s-1}}{\cosh z} $と定義し、積分路$H$で積分します。尚、$H$はHankelの積分路です。
実軸の正の無限大から0に向かう積分路を$H_1$、0周りを十分小さな半径で回る積分路を$H_2$、実軸の0から正の無限大に向かう積分路を$H_3$とすると、$\displaystyle\int_{H_2}→0$となることより、
$\displaystyle\oint_H=2(\exp(2\pi is)-1)\Gamma(s)\beta(s)$
ここで、$\displaystyle\mathcal{M}[\frac{1}{\cosh t}](s)=2\Gamma(s)\beta(s)$を用いました。
よって、次の式が成り立ちます。
$\displaystyle\beta(s)=\frac{1}{2}\exp(-\pi is)\Gamma(1-s)\mathrm{Res}[f(z)]$
ここで双曲線関数の級数展開を使い、$s=-2m$とすることによって$\displaystyle\beta(-2m)=\frac{1}{2}E_{2m}$
級数展開では触れられていない奇数項は全てゼロなので
$\displaystyle\beta(-m)=\frac{1}{2}E_m$
となります。
最後まで見てくださってありがとうございました。