自由アーベル群の商

射影$X\to X/\sim$から誘導される全射準同型$p:\mathbb{Z}\{X\}\to \mathbb{Z}\{X/\sim \}$を考える。$\ker (p)=\mathbb{Z}\{(x)-(y):x\sim y\}$を示したいが、$\ker (p)\supseteq \mathbb{Z}\{(x)-(y):x\sim y\}$は自明である。

もし$\alpha =\sum _{x\in X}{n}_x(x)\in \ker (p)$なら
$$\sum _{x\in X}{n}_x(\bar{x})=0$$
であるので、式変形して
$$\sum _{s\in X/\sim }(\sum _{x\in s}{n}_x)(s)=0$$
を得る。つまり、任意の$s\in X/\sim$について$\sum _{x\in s}{n}_x=0$となる。各$s\in X/\sim$から代表元$x_s\in s$を一つとってくると、
$$\alpha =\sum _{s\in X/\sim }\sum _{x\in s}{n}_x((x)-(s))\in \mathbb{Z}\{(x)-(y):x\sim y\}$$
となる。

上の命題で、$X$に以下の同値関係を入れれば良い：

• $x,y\in X$に対して、$x\sim y$とは、連続写像$f:[0,1]\to X$で、$f(0)=x,f(1)=y$となるものが存在することである。