0

外測度がゼロならカラテオドリ可測

107
0
$$$$
外測度

集合$X$に関して、以下を満たす集合関数$\mu :2^X\to [0,\infty]$$X$上の外測度という

  1. $\mu (\emptyset)=0$
  2. $A\subseteq B\subseteq X\Rightarrow \mu(A)\leqslant\mu(B)$
  3. $A_1, A_2,\ldots\subseteq X\Rightarrow \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)$
カラテオドリ可測

$A\subseteq X$が外測度$\mu$に関してカラテオドリ可測とは、任意の $S\subseteq X$に対して
$$ \mu(S)=\mu(S\cap A)+\mu(S\setminus A) $$
が成り立つこと

外測度がゼロならカラテオドリ可測

$\mu$$X$上の外測度とする
$A\subseteq X$$\mu(A)=0$を満たすなら$A$$\mu$に関してカラテオドリ可測

任意の$S\subseteq X$に対して
$$ \mu(S)\leqslant\mu(S\cap A)+\mu(S\setminus A)\leqslant \mu(A)+\mu(S)=\mu(S) $$
よって
$$ \mu(S)=\mu(S\cap A)+\mu(S\setminus A) $$

投稿日:2021924

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

usagiop
usagiop
9
1028

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中