&&&def 外測度
集合$X$に関して、以下を満たす集合関数$\mu :2^X\to [0,\infty]$を$X$上の外測度という
1. $\mu (\emptyset)=0$
2. $A\subseteq B\subseteq X\Rightarrow \mu(A)\leqslant\mu(B)$
3. $A_1, A_2,\ldots\subseteq X\Rightarrow \mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\leqslant\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)$
&&&

&&&def カラテオドリ可測
$A\subseteq X$が外測度$\mu$に関してカラテオドリ可測とは、任意の $S\subseteq X$に対して
$$
\mu(S)=\mu(S\cap A)+\mu(S\setminus A)
$$
が成り立つこと
&&&

&&&prop 外測度がゼロならカラテオドリ可測
$\mu$を$X$上の外測度とする
$A\subseteq X$が$\mu(A)=0$を満たすなら$A$は$\mu$に関してカラテオドリ可測
&&&

&&&prf
任意の$S\subseteq X$に対して
$$
\mu(S)\leqslant\mu(S\cap A)+\mu(S\setminus A)\leqslant \mu(A)+\mu(S)=\mu(S)
$$
よって
$$
\mu(S)=\mu(S\cap A)+\mu(S\setminus A)
$$
&&&



外測度がゼロならカラテオドリ可測

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