本記事では
匿
の自作問題のひとつを紹介する。様々な要素を1題に凝縮したオムニバスな問題であるため、解説を見る前に、どうか暫く考えてもらいたい。 なお、本記事の副題である『哲学の深淵にピザは宿る』に深い意味は無く、ただ
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で「タイトルに使えそうな単語」を募集した結果集まったものを抽選して組み合わせただけである。 他にも「煩悩」・「カルボナーラ」・「筋肉」などの秀逸な案を紹介してもらった。この場を借りて感謝を申し上げる。 問題
において、傍心を、傍接円をとし、との接点をとする。
線分の四等分点を点に近い順でと、と垂直なの直径の両端を直線に近い順でと、それぞれ名付ける。
との交点を、との交点をとしたとき、直線上に線分の中点が存在することを示せ。
余談だが、問題を解く際にとして作図すると綺麗な図を描ける。
解説
円の外部の点からに接線を引き、接線との接点をとする。点を通りと2回交わる直線について、との交点を点に近い順で、との交点をとしたとき、が成立する。(このような性質が成り立つとき、は調和点列であるという。)
補題1で与えた図に関して、線分の中点をとしたとき、が成立する。
補題の確認が済んだところで、手を動かしてみよう。問題文に即して図を描くと、図1左側のようになる。
カラーバリアフリーを意識して色彩を選んだ割には意外と見づらい
登場する点の個数が多いため、点は一旦無視の方向で検討する。代わりに、との接点をとし、とを結ぶ。から引いたの平行線に対して、これとの交点を点に近い順でとし、またとの交点をとする。
ここまでを図に反映すると、図1右側のようになる。
として、を計算しよう。(よりであることに注意せよ。)
より、方べきの定理よりであるから はの接線であるため、補題1より としてを比較するとが判り、からと導かれる。
2点の直線からの距離の比について考える。これはとの交点をとしたとき、を考えることと同義である。
先の議論でを得たため、が線分の中点であることに注意するとと求められる。即ち、2点のからの距離の比もである。
この事実は、「を方向に倍に拡大して得られる楕円」の周上に点が存在することを示している。さらに、全く同様の手法で、点もの周上に存在することが証明できる。
ここまでの議論を図に反映すると、図2左側のようになる。
作図段階で楕円のサイズを想定していなかったことが分かる貴重な画像
これ以降、5点は一切登場しない。 2点を焦点とし、点を通る楕円を描く。このとき、傍接円の性質からが判るので、点もの周上に存在する(楕円は2焦点からの距離の和が一定となる点の軌跡である)。 また、楕円のもつ有名な性質として『ある焦点から放出された光線は、楕円の周で反射してもう一方の焦点に到達する』(証明は
高校数学の美しい物語 - 楕円の反射定理とその証明
を参照されたい)というものがある。この性質から、点におけるの接線は「の外角の二等分線」と一致する、と言える。敢えて記すまでもないが、それは直線のことである。よって、は点で楕円に接する。同様に、は点でに接する。 以上を図に反映すると、図2右側のようになる。 さて、図2右側に注目していただきたい。何となくではあるが、との形がよく似ているように見えないだろうか。実際、この直感は正しく、とは相似である。拡大縮小と平行移動で重なるのだ。今からこれを証明する。と言っても、2つの楕円の長径が明らかに平行なので、長径と短径の比、要するに楕円の縦横比が一致することだけを確認すればよい。 が円を方向に倍に拡大して得られる楕円であったことを思い出すと、の縦横比はであることが判る。 の長径はの半分、即ちである。また、の焦点間距離はであるため、三平方の定理を用いての短径を求めるととなる。したがって、の縦横比もである。 ゆえに、との縦横比はであり、この2つの楕円の相似を確認できた。 いま、図には2つの楕円と1つの円が描かれている。加えて、2つの楕円は相似であった。 ここで、図全体を方向に倍に縮小してみよう。すると、縦横比がであった2つの楕円は円になる。元々円であったは残念ながら楕円になってしまうが、扱える円の数が増えただけでも方針が立ちやすくなるはずであるかもしれないという噂をどこかで耳にしたことがあったりなかったりすると考えられる。 こうして縮小した図が図3左側である。以下、この縮小した図で考えていこう。(楕円と化してしまったにもう用は無いため、少し存在感を薄くしてもらった。)
もはや点Jはの傍心と呼べなくなってしまった……
図を縮小しても接するか否かの関係は変化しないので、が円(図の縮小によって円になったことを強調しておく)の接線となっていることも不変である。点は円の中心であるから、を得る(これは図3左側における角度である)。よって、点は円の中心であることを踏まえると、はに接していると判明する。その接点は当然である。
こんなことを示して何になるのか、と訝る読者も居ることだろう。しかし安心してほしい、この性質もしっかり使う。すぐ後の議論と、証明の終盤で。「まだ終盤に入らないのか」という意見は聞かなかったことにする。
との交点をとする。はの接線であったため、補題2からが成立する。
方べきの定理を用いた簡単な計算によりが従うので、と言える。直線がに対する垂線であったことに鑑みると、点はの垂心と導かれる。よって、直線は頂点から辺に下ろした垂線であり、その足となる点は明らかに円上に存在する。同様に、との交点もまた上に存在する。
ここまでの議論を図に反映すると、図3右側のようになる。やっと点が登場した。
はの直角三角形であるから、線分の中点についてが成り立っている。また、より四角形は円に内接するので、も確かめられる。
以上よりとなり、接弦定理の逆からは点でに接する。同様に、は点でに接する。
このことを図に反映すると、図4左側のようになる。
「爪のピンク色の部分の先端付近に存在する少し白っぽい線」の正式名称はOnychodermal Bandらしい
歓喜せよ、ついに終盤である。今までの長々と続けてきた議論の中で、本問の根幹に関わる性質は以下の2つ。
・は点でに接している
・は点でに接している
さて、点と点を登場させよう。とはどのような点であったか。そう、との交点だ。ということは、に引いた2本の接線の交点なのだ。という関係は明らかであろう。はの中点だ。これらを図に反映させ、不要な点や線を取り除くと、図4右側のようになる。
これを自明と呼ばずして何と呼ぼうか。念のため、仕上げの過程を記述するが、既に理解できている人は読み飛ばしても構わない。
から、三辺相等のためが判る。それゆえ、とは直線に関して対称な点である。対称な点どうしを結んだ線分の中点は明らかに対称軸に乗るので、点は直線上に存在する。
図の圧縮によって共線の関係は不変であるため、元の問題図においても点は直線上に存在すると証明できた。
あとがき
個人的には中々の難問に仕上がったと思うのだが、如何だっただろうか。「図形的考察なんて断固拒否、私は座標で挑む」という方が居たならば、今頃は点の座標(この括弧内に記すつもりだったものの式が長すぎたため頓挫)を求めようとして灰燼に帰しているところだと思われるので、謹んで合掌を送る。 なお、でを求められることは匿自身が提示した性質だが、その手順は立見鶏(
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)氏によって発見されたものである。彼の貢献が無ければ、このステップにおいて煩雑な計算を要したであろう。 本問の解説で用いた種々の手法は、いずれも先行研究を見つけられなかったものである。例えば、2点が楕円上に存在し、それら2つの楕円が相似であること、それからがの、がの接線になること。これらは非常に有用な性質であり、これらを利用して様々な問題を作ることも容易い。 正直なところ、私は私自身がこれらの性質の第一発見者であるとは考えていない。なぜならば、性質がシンプルである上に、十分な汎用性も備えているからだ。事実、本問のように複雑な構図を煩雑な計算なしで示すことができた。 読者の中で、もし先行研究をご存知の方が居たら、是非コメントでご教示ねがいたい。 最後に、本問の類題を紹介して記事を締めくくる。傍心が内心に変わっただけだが、はたしてどのように解けるだろうか。 以下の類題を証明できた方も、その報告(もしくは解答)をコメントまたは
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のDMでお待ちしている。 において、内心を、内接円をとし、との接点をとする。
線分の四等分点を点に近い順でと、と垂直なの直径の両端を直線に近い順でと、それぞれ名付ける。
との交点を、との交点をとしたとき、直線上に線分の中点が存在することを示せ。
そこ、「類題のほうが綺麗じゃん」とか言わない