数列と整数問題

以下、解説です。先ず、条件(1)について解きますと、
$a_n=p^{n-1}{a}_1+\alpha (1-p^{n-1})\dots (\mathrm{ⅰ})$
$\alpha$は方程式$t=pt+q\dots (\mathrm{ⅱ})$の解
である事が分かります。(簡単なので自分で解いてみてください)
そして、$p,q\in Z$より$\alpha \in Q$である事が
分かります。

次に、条件(2)について考えてみましょう。
$p^{n-1}{a}_1\equiv 0(mod{a}_1)$ですから、第二項について考える必要があります。又、$\alpha =0(q=0)$ならば常に成立します。以下では$\alpha \ne 0$とします。

$(A)$ $\alpha \in Z$、つまり$q\equiv 0(modp-1)$の場合

$\alpha$は有限個の素因数しか持たないので、任意の素数の倍数にはなりません。従って、大部分は$1-p^{n-1}$の項により満たすと予想されます。そして、$|p|\leqq 1$ならば、第二項は$0,\alpha ,2\alpha$なので条件を満たせません。従って、$|p|\geqq 2$となります。

$p\equiv 0(mod{a}_1)$である様な$a_1\in P$については$1-p^{n-1}\equiv 1$ですから、$\alpha \equiv 0(mod{a}_1)$、つまり$\alpha \equiv 0(mod(pの素因数の積))$でなければなりません。それ以外の$a_1$については$(p,a_1)=1$なので、$|p|$についてフェルマーの小定理が成立します$(m=a_1)$。

$a_1$は素数なので、3以上に関しては奇数です。従って、$a_1-1$は偶数となる為、$p$についても一般に成立します。この性質を考慮しつつ上記を整理すると、

$|p|\geqq 2$かつ
$p$が偶数 → $\alpha \equiv 0(mod(pの素因数の積))$かつ$\alpha$は偶数
$p$が奇数→$\alpha \equiv 0(mod(pの素因数の積))$のみ

となります。従って、$q\equiv 0(mod(p-1)\times (pの素因数の積)$となります。

$(B)$ それ以外の場合

$((pの素因数の積),p-1)=1$なので、実は割り切れなくても問題ありません。$1-p^{n-1}\equiv 0(modp-1)$なので。

$(A)$, $(B)$それぞれのケースを考慮すると、
求める整数$p,q$は
$q\equiv 0(mod(pの素因数の積)),|p|\geqq 2$を満たす様な$p,q$となります。