ツイートした級数
先日ツイートした級数を証明します。
$$\frac{\pi}{n}\csc\frac{\pi}{n}=\sum_{m\geq0}\frac{n(-1)^m(2m+1)}{(m^2+m)n^2+n-1}\quad(n\in\mathbb{Z},n>1)$$
$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^s+1}=\frac{\pi}{s}\csc\frac{\pi}{s}(s\neq -1,0,1)$$
\begin{align} \int_0^\infty\frac{dx}{x^s+1}&=\frac2s\int_0^\infty\frac{w^{\frac2s-1}}{w^2+1}dw &(x^s\mapsto w^2)\\ &=\frac2s\int_0^\frac\pi2\tan^{\frac2s-1}\theta d\theta &(w\mapsto\tan\theta) \\ &=\frac1s\left(2\int_0^\frac\pi2\sin^{2\cdot\frac1s-1}\theta\cos^{2\cdot\left(1-\frac1s\right)-1}\theta\right) d\theta\\ &=\frac1s{\rm B}\left(\frac1s,1-\frac1s\right)\\ &=\frac\pi s\csc\frac\pi s \end{align}
ところで、
$$\int_0^\infty\frac{dx}{x^n+1}=\int_0^1\frac{1}{x^n+1}+\int_1^\infty\frac{dx}{x^n+1}$$
だから
$$
\frac\pi n\csc\frac\pi n=\int_0^1\frac{dx}{x^n+1}+\int_0^1\frac{y^{-2}dy}{y^{-n}+1}
$$
である。右辺の積分を級数に直して
\begin{align}
\frac\pi n\csc\frac\pi n&=\int_0^1\sum_{m\geq0}(-x^n)^mdx+\int_0^1y^{n-2}\sum_{m\geq0}(-y^n)^mdy\\
&=\sum_{m\geq0}\int_0^1(-x^n)^mdx+\sum_{m\geq0}\int_0^1y^{n-2}(-y^n)^mdy\\
&=\sum_{m\geq0}\frac{(-1)^m}{mn+1}+\sum_{m\geq0}\frac{(-1)^m}{(m+1)n-1}\\
&=\sum_{m\geq0}\frac{n(-1)^m(2m+1)}{(m^2+m)n^2+n-1}
\end{align}
です。はい。
こんなのもできるよってやつ
$$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n(2n+1)}{9n^2+9n+2}=\frac{2\pi}{9\sqrt3}$$
$$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n(2n+1)}{16n^2+16n+3}=\frac\pi{8\sqrt2}$$
$$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n(2n+1)}{25n^2+25n+4}=\frac{2\pi\sqrt{\varphi}}{25\sqrt[4]{5}}$$
$$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n(2n+1)}{36n^2+36n+5}=\frac\pi{18}$$
$$\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n(2n+1)}{144n^2+144n+11}=\frac\pi{36\sqrt2(\sqrt3-1)}$$