ツイートした級数

先日ツイートした級数を証明します。

ところで、
$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^n+1}={\int }_0^1\frac{1}{x^n+1}+{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^n+1}$$
だから
$$\frac{\pi }{n}\csc \frac{\pi }{n}={\int }_0^1\frac{dx}{x^n+1}+{\int }_0^1\frac{y^{-2}dy}{y^{-n}+1}$$
である。右辺の積分を級数に直して
$$\begin{array}{rl}\frac{\pi }{n}\csc \frac{\pi }{n}& ={\int }_0^1\sum _{m\ge 0}(-x^n{)}^{m}dx+{\int }_0^1{y}^{n-2}\sum _{m\ge 0}(-y^n{)}^{m}dy\\ & =\sum _{m\ge 0}{\int }_0^1(-x^n{)}^{m}dx+\sum _{m\ge 0}{\int }_0^1{y}^{n-2}(-y^n{)}^{m}dy\\ & =\sum _{m\ge 0}\frac{(-1{)}^m}{mn+1}+\sum _{m\ge 0}\frac{(-1{)}^m}{(m+1)n-1}\\ & =\sum _{m\ge 0}\frac{n(-1{)}^m(2m+1)}{(m^2+m)n^2+n-1}\end{array}$$
です。はい。

こんなのもできるよってやつ

$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n(2n+1)}{9n^2+9n+2}=\frac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n(2n+1)}{16n^2+16n+3}=\frac{\pi }{8\sqrt{2}}$$
$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n(2n+1)}{25n^2+25n+4}=\frac{2\pi \sqrt{\phi }}{25\sqrt[4]{5}}$$
$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n(2n+1)}{36n^2+36n+5}=\frac{\pi }{18}$$
$$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n(2n+1)}{144n^2+144n+11}=\frac{\pi }{36\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}$$