特異点解消の演習

特異点解消,トーリック多様体,代数幾何学

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ネットで適当に拾ってきた演習問題を解きます．

$K$ を代数閉体， $X = Spec K [x, y, z, w] / (x y - z w)$ とする．

$X$ の特異点を全て求めよ．
ブローアップで $X$ の特異点を解消せよ．
$X$ がトーリック多様体と同型であることを示せ．

では早速．

1.1

$f = x y - z w$ とする． $X$ は4次元空間の中の超曲面であるので，特異点は偏微分が全て0になる点である．それぞれ偏微分を求めると，

$\begin{aligned} f_{x} & = y \\ f_{y} & = x \\ f_{z} & = - w \\ f_{w} & = - z \end{aligned}$

であるので，

$y = x = - w = - z = 0$

を解くと $(x, y, z, w) = (0, 0, 0, 0)$ となる．

$∴$ $Sing X = {(0, 0, 0, 0)}$

1.2

何を以てブローアップとするかは文脈による気がするので，なんとなくスケッチだけ書くことにします．

今， $A^{4}$ の中で原点が特異点となっている:

4次元空間

これを原点でブローアップしたものを ${\tilde{A}}^{4}$ と書くと，以下のようになる:

原点でブローアップ

$x$ が0でない $A^{4}$ （赤破線部）では軸のラベルが $x, x^{- 1} y, x^{- 1} z, x^{- 1} w$ となっているが，それぞれが一つの変数だと考える．

これは局所化したものを便宜的にこう書いているだけです．またこの書き方は流派によって異なり，新しく $y^{'}, z^{'}, w^{'}$ などと変数を置き直すこともあります．

$X$ を ${\tilde{A}}^{4}$ へ引き戻すと，赤破線部では

$x y - z w = x^{2} (x^{- 1} y - (x^{- 1} z) (x^{- 1} w)))$

と表せられる．ここで，狭義変換 $x^{- 1} y - (x^{- 1} z) (x^{- 1} w) = 0$ の多項式を $f^{(x)}$ と書くと，
$\begin{aligned} f_{x}^{(x)} & = 0 \\ f_{x^{- 1} y}^{(x)} & = 1 \\ f_{x^{- 1} z}^{(x)} & = - x^{- 1} w \\ f_{x^{- 1} w}^{(x)} & = - x^{- 1} z \end{aligned}$

となるので，これらを全て0にする点 $(x, x^{- 1} y, x^{- 1} z, x^{- 1} w)$ は存在しない，よって非特異である．

同様に他の変数でも狭義変換は全て非特異となる．このブローアップの例外集合は $P^{3}$ に等しい:

例外集合

また，狭義変換は以下のような $P^{3}$ における射影曲面となる:

狭義変換

全変換をそれぞれ $V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}$ とすると，ブローアップは

$\tilde{X} = V_{1} \cup V_{2} \cup V_{3} \cup V_{4} \subset {\tilde{A}}^{4}$

となる．

1.3

$ϕ : K [x, y, z, w] \to K [s u, t, u, s t] \subset K [s, t, u]$ を考える．ここで以下を示す．

$Ker ϕ = (x y - z w)$

( $\supseteq$ ) $ϕ (x y - z w) = s u t - u s t = 0$ より成り立つ．

( $\subseteq$ ) $g \in Ker ϕ$ に対して，
$\begin{aligned} g & = g (x, y, z, w) \\ = g_{1} (y, z, w) + g_{2} (x, z, w) + g_{3} (z, w) + (x y - z w) \end{aligned}$
と剰余しておく．それぞれ $\deg_{y} g_{1} > 0, \deg_{x} g_{2} > 0$ であることに注意せよ．

この時，
$\begin{aligned} ϕ (g) & = g_{1} (t, u, s t) + g_{2} (s u, u, s t) + g_{3} (u, s t) = 0 \end{aligned}$

となるが，それぞれ $g_{1}, g_{2}, g_{3}$ 部分に同じ単項式は現れない．実際に， $g_{1}$ と $g_{2}$ で同じ単項式が現れるとすると，それぞれ $t^{a_{1}} u^{b_{1}} (s t)^{c_{1}}$ および $(s u)^{a_{2}} u^{b_{2}} (s t)^{c_{2}}$ とすると指数部分を比較して

$\begin{aligned} c_{1} & = a_{2} + c_{2} \\ a_{1} + c_{1} & = c_{2} \\ b_{1} & = a_{2} + b_{2} \end{aligned}$

となるが，これを解くと $a_{1} + a_{2} = 0$ となり， $a_{1} > 0, a_{2} > 0$ に矛盾する．

$g_{1}$ と $g_{3}$ でも同様に比較すると
$\begin{aligned} c_{1} & = b_{3} \\ a_{1} + c_{1} & = b_{3} \\ b_{1} & = a_{3} \end{aligned}$
となるが，これを解くと $a_{1} = 0$ となり， $a_{1} > 0$ に矛盾．

$g_{2}$ と $g_{3}$ においても
$\begin{aligned} a_{2} + c_{2} & = b_{3} \\ c_{2} & = b_{3} \\ a_{2} + b_{2} & = a_{3} \end{aligned}$
となるが，これを解くと $a_{2} = 0$ となり， $a_{2} > 0$ に矛盾．