結び目のAlexander多項式を計算したい① 結び目補空間のホモロジー群による計算

Laurent多項式 $f\in \Lambda$と $\alpha\in H_k(\widetilde{X_K})$に対して積を定めよう．$f(t)$は次のような係数を持つとする．
$$f(t) ~=~ c_{-r} t^{-r} + \cdots + c_0 + c_1 t^1 + \cdots + c_s t^s \quad (c_i\in\Z).$$
このとき積$f\cdot \alpha \in H_k(\widetilde{X_K})$を
$$ f\cdot\alpha ~=~ c_{-r} \tau_*^{-r}\alpha + \cdots + c_0 + c_1 \tau_*^1\alpha + \cdots + c_s \tau_*^s\alpha ~~\in~~ H_k(\widetilde{X_K}) $$
によって与えると，$H_k(\widetilde{X_K})$は$\Lambda$加群の構造を持つことが分かる．ここで $\tau: \widetilde{X_K} \to \widetilde{X_K}$は上で固定した被覆変換群の生成元であり，$\tau_*:H_k(\widetilde{X_K}) \to H_k(\widetilde{X_K})$ は$\tau$から誘導される群同型写像，そして$\tau_*^i$は$\tau_*$の$i$回の合成である．

$\widetilde{X_K}$は弧状連結であるので，群として$H_0(\widetilde{X_K}) \simeq \Z$であることに注意する．生成元$\alpha\in H_0(\widetilde{X_K})$と任意の$r\in\Z$に対して$\tau_*^k\alpha = \alpha$であるから，$f$による積は$f$の係数の和となる．よって$f\cdot\alpha = f(1)\alpha$となり主張を得る．

結び目の連結和は，$2$つの結び目を隔てる球面$S^2\subset S^3$を用いて定義されていた．この分離球面によって$S^3$は$2$つの$3$次元球体に分離されるが，この分離した球体に関するMayer-Vietoris完全系列を計算することで主張を得る(詳細は[1]の7E-1を参照されたい)．

$X_i := Y_i \cup N_i$とする．被覆写像$p: \widetilde{X} \to X_K$は各$X_i$を$X$へ自然に射影することで与えられる．また$X_i$を$X_{i+1}$に平行移動させる写像$\tau: \widetilde{X_K} \to \widetilde{X_K}$は被覆変換群$\mathrm{Aut}(p)$の元となり，さらに$\mathrm{Aut}(p)$を生成する位数$0$の元であることが分かる．

$\mathrm{Im}\,j_1$を計算するために，$H_1(Y)$と$H_1(N)$への像を別々に確かめよう．ここで$j_1$は自然な埋め込みから誘導される群準同型であった．

まず最初に$H_1(Y)$における像を考える．そのためには$Y$内のループ$a^+, b^+, a^-, b^-$を生成元$\alpha,\,\beta,\,\gamma_Y$によって表せばよい．
図式にループ$a^+, b^+, a^-, b^-$を描くことを考えよう．このとき次のようにループ$a, b$を「ずらす」ことで得られていた．ここで$a^+$は紙面の表側に，$a^-$は紙面の裏側にずらすことで得られるとし，$b^+$と$b^-$は灰色の面で同様にずらすことを赤い面に拡張することで記述する(Seifert曲面$F$は向き付け可能であったため，この操作はwell-efinedである)

ループの平行移動

次のイラストは$m=2$における$a^+, b^+, a^-, b^-$である．

$a^+, b^+, a^-, b^-$のイラスト

イソトピー変形をすることで，$a^+$はホモロジー群$H_1(Y)$内では$2$つの$\alpha$と$1$つの$\beta$によって生成されることが分かる．

ループ$a^+$のイソトピー変形

他のループについても同様に変形することによって，$j_1$による$H_1(Y)$への像は次のようになる．

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} j_1(a^+) = 2\alpha + \beta, \\ j_1(b^+) = \beta, \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} j_1(a^-) = 2\alpha,\\ j_1(b^-) = \alpha + \beta, \end{array} \right. \qquad j_1(\gamma) = \gamma_Y. \end{eqnarray} $$

$m$が一般の整数の場合においても同様の計算が可能であり，次のようになる．

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} j_1(a^+) = m\alpha + \beta, \\ j_1(b^+) = \beta, \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} j_1(a^-) = m\alpha,\\ j_1(b^-) = \alpha + \beta, \end{array} \right. \qquad j_1(\gamma) = \gamma_Y. \end{eqnarray} $$

一方で，$j_1$による$H_1(N)$への像はとてもシンプルなものになっている．
$$ j_1(a^\pm) ~=~ a, \quad j_1(b^\pm) ~=~ b, \quad j_1(\gamma) ~=~ \gamma_N. $$
そこで直和を単に足し算の記号で書くことにすれば，$\mathrm{Im}\,j_1$は次で生成される$H_1(Y)\oplus H_1(N)$の部分加群となり証明が完了する．
$$ \mathrm{Im}\,j_1 ~=~ \langle m\alpha + \beta+a,~ m\alpha+a,~ \beta+b,~ \alpha+\beta+b,~ \gamma_Y+\gamma_N \rangle. $$

剰余加群$H_1(Y)\oplus H_1(N) \,/\, \mathrm{Im}\,j_1$について考えると，
$$ a = -m\alpha,\quad b=-\beta,\quad \gamma_Y = -\gamma_N,\quad a=0,\quad b=0 $$
という$5$つの関係式となる．よって$H_1(X_K)$は$\gamma_Y$によって生成される無限巡回群($\simeq \Z$)と同型である．

ループ $\gamma\subset X_K$の$p$による逆像$\widetilde{\gamma}=p^{-1}(\gamma)$を考える．すると$3$章で与えた$\widetilde{X_K}$の構成から，$\widetilde{\gamma}$は$\widetilde{X_K}$を縦断する一本の曲線となる(下図のオレンジ色の横線)．つまり被覆写像$p$によって$X_i$へ持ち上がる$\gamma$の逆像$\gamma_i$は，$X_{i+1}$への持ち上げ$\gamma_{i+1}$と繋がっている．

$\gamma_i$たちは繋がっている．

よって$\widetilde{Y}, \widetilde{N}$は，各$Y_i, N_i$を縦断する曲線$\widetilde{\gamma}$によって串刺しにした空間となり連結となる．同様にして
$$ \widetilde{Y}\cap \widetilde{N} = \bigcup_{i\in\Z} \left( N_i^+ \cup N_i^- \cup \gamma_i \right) ~=~ \bigcup_{i\in\Z} \left( N_i^+ \cup N_i^- \right) \cup \widetilde{\gamma} $$
となるので連結性が分かる．

$H_1(X_K)$のときと同様に，次のMayer-Vietoris完全系列を用いてホモロジー群の計算を行う．
$$ \cdots \stackrel{\widetilde{\delta_{i+1}}}{\longrightarrow} H_k\left(\widetilde{Y} \cap \widetilde{N}\right) \stackrel{\widetilde{j_k}}{\longrightarrow} H_k(\widetilde{Y})\oplus H_k(\widetilde{N}) \stackrel{\widetilde{p_k}}{\longrightarrow} H_k(\widetilde{X_K}) \stackrel{\widetilde{\delta_k}}{\longrightarrow} \cdots \quad (k\in\Z) $$
$\widetilde{Y}\cap \widetilde{N}$は連結であったので$\widetilde{j_0}$は単射である．よって$\mathrm{Im}\,\widetilde{j_1}$を計算することによって$H_1(\widetilde{X_K})$が求まる．

そこで$H_1(\widetilde{Y}\cap \widetilde{N}) = \langle a_i^+, b_i^-\,|\,i\in\Z\rangle$の生成元の行き先を議論しよう．

$\widetilde{X_K}$の構成を思い出すと，貼り合わせは以下のように行っていた．

次のペア $(1)$ $Y_i$と$N_i$ $(2)$ $Y_{i+1}$と$N_i$を以下のようにして貼り合わせます．

1. $Y_i$と$N_i$は共通部分$N_i^+$を自然に同一視することで貼り合わせる．
2. $Y_{i+1}$ と$N_i$は，それぞれの部分集合である$N_{i+1}^-$ と $N_i^-$を自然に同一視することで貼り合わせる．

すると，全ての $i\in \Z$ で貼り合わせて得られる空間は$\widetilde{X_K}$となります．

そこで次のような自然な埋め込みによって$\widetilde{j_1}$の像を指定する(添え字の行き先を指定している)．
$$ N_i^+ \hookrightarrow Y_i ~\mathrm{or}~ N_i, \quad N_i^- \hookrightarrow Y_{k+1} ~\mathrm{or}~ N_i $$
また，命題7の証明で登場した群準同型$j_1: H_1(Y \cap N) \to H_1(Y)\oplus H_1(N)$の像は以下の通りだった．

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} j_1(a^+) = m\alpha + \beta + a, \\ j_1(b^+) = \beta + b, \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} j_1(a^-) = m\alpha + a,\\ j_1(b^-) = \alpha + \beta + b, \end{array} \right. \qquad j_1(\gamma) = \gamma_Y + \gamma_N. \end{eqnarray} $$

よって$2$つの議論を併せることにより，$\widetilde{j_1}: H_1(\widetilde{Y} \cap \widetilde{N}) \to H_1(\widetilde{Y})\oplus H_1(\widetilde{N})$の像は以下のようになる．

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{j_1}(a_i^+) = m\alpha\,t^i + \beta\,t^i + a\,t^i, \\ \widetilde{j_1}(b_i^+) = \beta\,t^i + b\,t^i, \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{l} \widetilde{j_1}(a_i^-) = m\alpha\,t^{i+1} + a\,t^i,\\ \widetilde{j_1}(b_i^-) = \alpha\,t^{i+1} + \beta\,t^{i+1} + b\,t^i, \end{array} \right. \qquad (i\in \Z). \end{eqnarray} $$
(貼り合わせによる添え字の変化に注意)

次に剰余加群$H_1(\widetilde{Y})\oplus H_1(\widetilde{N}) \,/\, \mathrm{Im}\, \widetilde{j_1}$の$\Lambda$加群としての表示を考える．$\widetilde{j_1}(b_i^+) = 0 $と$\widetilde{j_1}(a_i^-) = 0$より$a,b$は$a=-m\alpha t,\, b= -\beta$と表される．よって$\widetilde{j_1}(a_i^+)=0$と$\widetilde{j_1}(b_i^-)=0$に代入することで次を得る．
$$ m\alpha + \beta - m \alpha t ~=~ 0, \quad (\alpha + \beta)t - \beta ~=~ 0. $$
前者の式を変形して$\beta = (t-1)m\alpha$とし，後者の式へ代入することで次を得る．
\begin{align} (\alpha + (t-1)m\alpha)t - (t-1)m\alpha ~=~ 0 \quad \Longleftrightarrow\quad(mt^2+(1-2m)t+m)\alpha ~=~ 0. \end{align}

よって$K=J(2,2m)$のAlexander加群$H_1(\widetilde{X_K})$は
\begin{align} H_1(\widetilde{X_K})\quad &\simeq \quad H_1(\widetilde{Y})\oplus H_1(\widetilde{N})\,/\, \mathrm{Im}\, \widetilde{j_1}\\ &\simeq \quad \langle\alpha\rangle_\Lambda \,/\, ((mt^2+(1-2m)t+m)\alpha) \quad \simeq \quad \Lambda/(mt^2+(1-2m)t+m). \end{align}
となり計算が完了した．

コンパニオンの結び目に依らないことを確かめるには，ソリッドトーラス$S^1\times D^2$のロンジチュードの像である$K':=\phi(P)$が結び目補空間$X_K$においてヌルホモロガスであればよい．

$m=0$のとき$K$と$K'$の絡まり数は$0$である．よって$K'$は$X_K$内においてSeifert曲面を張る．即ちホモロジー群のバウンダリーとなっているため$K'$はヌルホモロガスである．

$m\neq0$のときについても，パターンをツイスト結び目$J(2,2m)$に対応するものと交換することで，$K$はサテライト結び目として捻じれ数$0$であるとして議論が可能である．よって同様にしてコンパニオンの結び目に依らないことが分かる．