複素積分7

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1437244814781648898?s=21

$\displaystyle1-2a\cos x+a^2=(1-ae^{ix})(1-ae^{-ix})$を利用して

$\displaystyle\int_0^\pi\frac{\log(1-2a\cos x+a^2)}{1-2a\cos x+a^2}dx$
$=\displaystyle\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi(\frac{\log(1-ae^{ix})}{(1-ae^{ix})(1-ae^{-ix})}+\frac{\log(1-ae^{-ix})}{(1-ae^{ix})(1-ae^{-ix})})dx$
$=\displaystyle\oint_{C:z=e^{ix}}\frac{\log(1-az)}{(1-az)(1-\frac{a}{z})}\frac{dz}{iz}$
$=\displaystyle2\pi\frac{\log(1-a^2)}{1-a^2}$
aの絶対値が1より大きい場合はめんどくさくて確かめてません。