複素積分7

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1437244814781648898?s=21

${\displaystyle 1-2a\cos x+a^2=(1-a{e}^{ix})(1-a{e}^{-ix})}$を利用して

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\frac{\log (1-2a\cos x+a^2)}{1-2a\cos x+a^2}dx}$
$={\displaystyle \frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }(\frac{\log (1-a{e}^{ix})}{(1-a{e}^{ix})(1-a{e}^{-ix})}+\frac{\log (1-a{e}^{-ix})}{(1-a{e}^{ix})(1-a{e}^{-ix})})dx}$
$={\displaystyle {\oint }_{C:z=e^{ix}}\frac{\log (1-az)}{(1-az)(1-\frac{a}{z})}\frac{dz}{iz}}$
$={\displaystyle 2\pi \frac{\log (1-a^2)}{1-a^2}}$
aの絶対値が1より大きい場合はめんどくさくて確かめてません。