積分解説2

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1442967515378774020?s=21

一応複素対数の性質は使いますが、複素積分と言うほどでもないのでタイトルはこのようにしました。
${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\log (1-\frac{2\cos 2\theta }{x^2}+\frac{1}{x^4})dx}$
$={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\log ((1-\frac{1}{x^2}{)}^2+(\frac{2\cos \theta }{x}{)}^2)dx}$
$={\displaystyle 2\mathrm{Re}{\int }_0^{\infty }\log (1-\frac{1}{x^2}+\frac{2i\cos \theta }{x})dx}$
これを$I(\theta )$と置くと、
${\displaystyle \frac{\partial I(\theta )}{\partial \theta }=2\mathrm{Re}{\int }_0^{\infty }\frac{-2i{x}^{-1}\sin \theta }{1-x^{-2}+2i{x}^{-1}\cos \theta }dx}$
$={\displaystyle 2\mathrm{Re}{\int }_0^{\infty }\frac{-2ix\sin \theta }{x^2+2ix\cos \theta -1}dx}$
$={\displaystyle 2{\int }_0^{\infty }\frac{-4x^2\sin \theta \cos \theta }{x^4-2x^2\cos 2\theta +1}dx}$
$={\displaystyle 2\pi \cos \theta }$
$\therefore I(\theta )=2\pi \sin \theta$