積分解説2

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1442967515378774020?s=21

一応複素対数の性質は使いますが、複素積分と言うほどでもないのでタイトルはこのようにしました。
$\displaystyle\int_0^∞\log\Big(1-\frac{2\cos 2\theta}{x^2}+\frac{1}{x^4}\Big)dx$
$=\displaystyle\int_0^∞\log\Big(\big(1-\frac{1}{x^2}\big)^2+\big(\frac{2\cos\theta}{x}\big)^2\Big)dx$
$=\displaystyle 2\Re\int_0^∞\log\Big(1-\frac{1}{x^2}+\frac{2i\cos\theta}{x}\Big)dx$
これを$I(\theta)$と置くと、
$\displaystyle\frac{\partial I(\theta)}{\partial\theta}=2\Re\int_0^∞\frac{-2ix^{-1}\sin\theta}{1-x^{-2}+2ix^{-1}\cos\theta}dx$
$=\displaystyle 2\Re\int_0^∞\frac{-2 ix\sin\theta}{x^2+2ix\cos\theta-1}dx$
$=\displaystyle 2\int_0^∞\frac{-4x^2\sin\theta\cos\theta}{x^4-2x^2\cos2\theta+1}dx$
$=\displaystyle2\pi\cos\theta$
$\therefore I(\theta)=2\pi\sin\theta$