積分解説3

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1443224211288248322?s=21

今回も複素対数の性質を利用します。
${\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }({\tan }^{-1}\frac{\sin x}{a^{-1}-\cos x}{)}^{2}dx}$
$={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }(\mathrm{Im}\log (1-a{e}^{ix}){)}^{2}dx}$
$={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }(\mathrm{Im}\sum _{n\ge 1}\frac{(a{e}^{ix}{)}^n}{n}{)}^{2}dx}$
$={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }(\sum _{n\ge 1}\frac{a^n\sin nx}{n}{)}^{2}dx}$
$={\displaystyle \pi \sum _{n\ge 1}\frac{(a^2{)}^n}{n^2}}$
$={\displaystyle \pi {\mathrm{Li}}_2(a^2)}$
これよくよく考えたらフーリエ級数展開になってるんですね。