積分解説3

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1443224211288248322?s=21

今回も複素対数の性質を利用します。
$\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\Big(\tan^{-1}\frac{\sin x}{a^{-1}-\cos x}\Big)^2dx$
$=\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\Big(\Im\log(1-ae^{ix})\Big)^2dx$
$=\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\Big(\Im\sum_{n\geq1}\frac{(ae^{ix})^n}{n}\Big)^2dx$
$=\displaystyle\int_{-\pi}^\pi\Big(\sum_{n\geq1}\frac{a^n\sin nx}{n}\Big)^2dx$
$=\displaystyle\pi\sum_{n\geq1}\frac{(a^2)^n}{n^2}$
$=\displaystyle\pi\operatorname{Li}_2(a^2)$
これよくよく考えたらフーリエ級数展開になってるんですね。