複素積分8

今回は僕の考えた複素積分を解説します。
命題はこちら
${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(s){\zeta }^{-s}=\mathcal{M}[e^{-\zeta t}](s)}$
${\displaystyle \zeta \in \mathbb{C},\mathrm{Re}\zeta ＞0}$

積分路は以下のように取ります。
$C_1:z=t[0\le t\le \infty )$
$C_2:z=R{e}^{i\mathrm{\Theta }}[0\ge \mathrm{\Theta }\ge -\theta ]$
$C_3:z=e^{i\theta }t(\infty \ge t\ge 0]$
複素関数は${\displaystyle f(z)=z^{s-1}{e}^{-rz}}$
$R\to \infty$とするとき、
${\displaystyle {\oint }_C=0,{\int }_{C_2}=0}$より、
${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-rt}dt={\int }_0^{\infty }(e^{i\theta }t{)}^{s-1}{e}^{-r{e}^{i\theta }t}{e}^{i\theta }dt}$
${\displaystyle \frac{\mathrm{\Gamma }(s)}{r^s}=(e^{i\theta }{)}^s{\int }_0^{\infty }{t}^{s-1}{e}^{-r{e}^{i\theta }t}dt}$
ここで$\zeta =r{e}^{i\theta }$とすることによって命題を得ます。
至ってシンプルですが、Mellin変換、Laplase変換、Fourier変換と色々な角度から見られる式ですね。

これをいじるとこんな式も簡単に得られます。
${\displaystyle \mathcal{M}[e^{\alpha t}\cos \omega t](s)=\mathrm{\Gamma }(s)({\alpha }^2+{\omega }^2{)}^{-s/2}\cos s{\tan }^{-1}\frac{\omega }{\alpha }}$

ここで、$\zeta$の定義域外にはなりますが、$\alpha \to 0$とすることにより$\cos$のMellin変換になります。$\sin$も同様にして導けます。
以上で解説を終わります。最後までご覧頂きありがとうございました。