複素積分8

今回は僕の考えた複素積分を解説します。
命題はこちら
$\displaystyle\Gamma(s)\zeta^{-s}=\mathcal{M}[e^{-\zeta t}](s)$
$\displaystyle\zeta\in\mathbb{C},\Re\zeta＞0$

積分路は以下のように取ります。
$C_1:z=t\quad[0\leq t\leq∞)$
$C_2:z=Re^{i\Theta}\quad[0\geq\Theta\geq-\theta]$
$C_3:z=e^{i\theta}t\quad(∞\geq t\geq0]$
複素関数は$\displaystyle f(z)=z^{s-1}e^{-rz}$
$R→∞$とするとき、
$\displaystyle\oint_C=0,\int_{C_2}=0$より、
$\displaystyle\int_0^∞t^{s-1}e^{-rt}dt=\int_0^∞(e^{i\theta}t)^{s-1}e^{-re^{i\theta}t}e^{i\theta}dt$
$\displaystyle\frac{\Gamma(s)}{r^s}=\big(e^{i\theta}\big)^s\int_0^∞t^{s-1}e^{-re^{i\theta}t}dt$
ここで$\zeta=re^{i\theta}$とすることによって命題を得ます。
至ってシンプルですが、Mellin変換、Laplase変換、Fourier変換と色々な角度から見られる式ですね。

これをいじるとこんな式も簡単に得られます。
$\displaystyle\mathcal{M}[e^{\alpha t}\cos\omega t](s)=\Gamma(s)(\alpha^2+\omega^2)^{-s/2}\cos s\tan^{-1}\frac{\omega}{\alpha}$

ここで、$\zeta$の定義域外にはなりますが、$\alpha→0$とすることにより$\cos$のMellin変換になります。$\sin$も同様にして導けます。
以上で解説を終わります。最後までご覧頂きありがとうございました。