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大学数学基礎解説
文献あり

単射のよくある間違い

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概要

いくつかの参考書で間違えていた単射についての定理を解説します.

間違いと反例

間違い

写像f:XYについて次は同値.

  1. f:XYは単射.
  2. gf=idXとなる写像g:YXが存在する.

(2)から(1)は正しいですが、(1)から(2)は反例があります.

  • 空写像:{}は単射.
  • g=idとなる写像g:{}は存在しない.

修正すると、たとえば次のようになります.

写像f:XYについて次は同値.

  1. f:XYは単射.
  2. X=またはgf=idXとなる写像g:YXが存在する」.

少し変形したバージョンで次の間違いがあります.

間違い

集合X, Yについて次は同値.
(1) 単射f:XYが存在する.
(2) 全射g:YXが存在する.

(2)から(1)は選択公理からわかります.
(1)から(2)の反例は定理1と同じです.

  • 空写像:{}は単射.
  • 全射g:{}は存在しない.

修正すると、たとえば次のようになります.

  1. 単射f:XYが存在する.
  2. X=または「全射g:YXが存在する」.

定理2は濃度の大小関係で大きな影響があります.
全射で濃度の大小関係を扱おうとすると、空集合の扱いを別にしないといけなくなります.
さらに、選択公理を使わないと苦しい局面が多くなり、議論が複雑になりやすいです.

参考文献

投稿日:20211010
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  2. 間違いと反例
  3. 参考文献