いくつかの参考書で間違えていた単射についての定理を解説します.
写像
(2)から(1)は正しいですが、(1)から(2)は反例があります.
修正すると、たとえば次のようになります.
写像
少し変形したバージョンで次の間違いがあります.
集合
(1) 単射
(2) 全射
(2)から(1)は選択公理からわかります.
(1)から(2)の反例は定理1と同じです.
修正すると、たとえば次のようになります.
定理2は濃度の大小関係で大きな影響があります.
全射で濃度の大小関係を扱おうとすると、空集合
さらに、選択公理を使わないと苦しい局面が多くなり、議論が複雑になりやすいです.