複素積分9

今回はこちらの積分botさんの積分を解説します。
https://twitter.com/integralsbot/status/1447414790981230600?s=21

$\displaystyle\int_{-∞}^∞\frac{\sin r\tan^{-1}x}{(1+x^2)^{r/2}(e^{\pi x}+1)}dx$
$=\displaystyle\Im\int_{-∞}^∞\frac{1}{(1-ix)^r(e^{\pi x}+1)}dx$
$=\displaystyle\Im2\pi i\sum_{n\geq0}\frac{1}{\big(1+(2n+1)\big)^r(-\pi)}$
$=\displaystyle-2^{1-r}\zeta(r)$
$=\displaystyle\eta(r)-\zeta(r)$