ガウスの超幾何定理の証明!(タイトル詐欺かもしれない)

$\d \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$という式について考える$(n\in \mathbb{N})$
$\d \sum_{k=0}^\infty \kakko{f(a+k)-f(a+k+1)}=f(a)-\lim_{n \to \infty} f(a+n)$を多用します。
$\d \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1)\Gamma(b+n)}-\frac{\Gamma(a+s_1+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1+1)\Gamma(b+n)}$
$(f(s_1)=\frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1)\Gamma(b+n)}として\d f(0)=\sum_{s_1=0}^\infty f(s_1)-f(s_1+1)をしています。)$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1)\Gamma(b+n)}\kakko{1-\frac{a+s_1}{a+b+s_1}}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+s_1+1)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \sum_{s_2=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1+s_2)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2+1)\Gamma(b+n)}-\frac{\Gamma(a+s_1+s_2+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2+2)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \sum_{s_2=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1+s_2)\Gamma(b+2)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2+2)\Gamma(b+n)}$
これを繰り返すことで、
$\d=\sum_{s_1,s_2 \cdots ,s_n =0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1+s_2\cdots+s_n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2\cdots+s_n+n)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1,s_2 \cdots ,s_n =0}^{\infty} \frac{\Gamma(a+s_1+s_2\cdots+s_n)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2\cdots+s_n+n)}$
$\d=\sum_{s=0}^\infty \sum_{s_1+s_2+ \cdots +s_n =s}^{} \frac{\Gamma(a+s)}{\Gamma(a+b+s+n)}$
$\d=\sum_{s=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s)}{\Gamma(a+b+s+n)} \binom{s+n-1}{n-1}\kakko{非負整数n個の数字の和でsにする方法:\binom{s+n-1}{n-1}}$
$\d=\sum_{s=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(s+n)}{\Gamma(a+b+s+n)\Gamma(n)\Gamma(s+1)}$
よって、
$\d\sum_{s=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(s+n)}{\Gamma(a+b+s+n)\Gamma(s+1)}=\frac{\Gamma(n)\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$

$\Gamma(x+n)=\Gamma(x)(x)_n$で書き換えると、

$\d\sum_{s=0}^\infty \frac{(a)_s(n)_s\Gamma(a)\Gamma(n)}{(a+b+n)_s s!\Gamma(a+b+n)}=\frac{\Gamma(n)\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$
定数を左辺に集めて、
$\d\sum_{s=0}^\infty \frac{(a)_s(n)_s}{(a+b+n)_s s!} =\frac{\Gamma(a+b+n)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$