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ガウスの超幾何定理の証明!(タイトル詐欺かもしれない)

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{kakko}[1]{\left(#1 \right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

この記事では、ガウスの超幾何定理として知られる

$\d \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n!}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}$

の証明を思いついたので書いていきます!
新証明かはわからないです...(僕は積分を使った方法しか知らないのですがこの方法も知られているのかもです。)
$(x)_n$ ポッホハマー記号 というもので、$(x)_n=x(x+1)...(x+n-1)=\d \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}$です。

$\d \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$という式について考える$(n\in \mathbb{N})$
$\d \sum_{k=0}^\infty \kakko{f(a+k)-f(a+k+1)}=f(a)-\lim_{n \to \infty} f(a+n)$を多用します。
$\d \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1)\Gamma(b+n)}-\frac{\Gamma(a+s_1+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1+1)\Gamma(b+n)}$
$(f(s_1)=\frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1)\Gamma(b+n)}として\d f(0)=\sum_{s_1=0}^\infty f(s_1)-f(s_1+1)をしています。)$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+s_1)\Gamma(b+n)}\kakko{1-\frac{a+s_1}{a+b+s_1}}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+s_1+1)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \sum_{s_2=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1+s_2)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2+1)\Gamma(b+n)}-\frac{\Gamma(a+s_1+s_2+1)\Gamma(b+1)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2+2)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1=0}^\infty \sum_{s_2=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1+s_2)\Gamma(b+2)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2+2)\Gamma(b+n)}$
これを繰り返すことで、
$\d=\sum_{s_1,s_2 \cdots ,s_n =0}^\infty \frac{\Gamma(a+s_1+s_2\cdots+s_n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2\cdots+s_n+n)\Gamma(b+n)}$
$\d=\sum_{s_1,s_2 \cdots ,s_n =0}^{\infty} \frac{\Gamma(a+s_1+s_2\cdots+s_n)}{\Gamma(a+b+s_1+s_2\cdots+s_n+n)}$
$\d=\sum_{s=0}^\infty \sum_{s_1+s_2+ \cdots +s_n =s}^{} \frac{\Gamma(a+s)}{\Gamma(a+b+s+n)}$
$\d=\sum_{s=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s)}{\Gamma(a+b+s+n)} \binom{s+n-1}{n-1}\kakko{非負整数n個の数字の和でsにする方法:\binom{s+n-1}{n-1}}$
$\d=\sum_{s=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(s+n)}{\Gamma(a+b+s+n)\Gamma(n)\Gamma(s+1)}$
よって、
$\d\sum_{s=0}^\infty \frac{\Gamma(a+s)\Gamma(s+n)}{\Gamma(a+b+s+n)\Gamma(s+1)}=\frac{\Gamma(n)\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$

$\Gamma(x+n)=\Gamma(x)(x)_n$で書き換えると、

$\d\sum_{s=0}^\infty \frac{(a)_s(n)_s\Gamma(a)\Gamma(n)}{(a+b+n)_s s!\Gamma(a+b+n)}=\frac{\Gamma(n)\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$
定数を左辺に集めて、
$\d\sum_{s=0}^\infty \frac{(a)_s(n)_s}{(a+b+n)_s s!} =\frac{\Gamma(a+b+n)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)\Gamma(b+n)}$

独り言

これは変形すると初めに書いた式と同じですね!
基本的な級数変形だけで出来るのが面白かったので記事にしてみました!
ここでタイトル詐欺かも~と書いた理由は、この方法だと初めに断ったように$n$が自然数でなければならないのですよね…(元の定理ではそうではなかったはず)
$a$$n$で対称なのに$a$は実数(複素数?)でよくて$n$は自然数でなければならないのはおかしい気がするのですが…()

では独り言を言ったところでこの記事は終わりとしたいと思います。
読んでくださりありがとうございました!

投稿日:20211013

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投稿者

kozy
kozy
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級数をいじったりしてます

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