積分解説8 ∫[0,∞](e/x)^xΓ(x)sin2πxdx

　以下の積分の解説をします.

　${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-xt}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(x)}{x^x}}$ を利用して,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{e}{x}\right)}^x\mathrm{\Gamma }(x)\sin 2\pi xdx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{x-xt}\sin 2\pi xdtdx\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(t-\log t-1)x}\sin 2\pi xdx\frac{dt}{t}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\pi }{(t-\log t-1{)}^2+(2\pi {)}^2}\frac{dt}{t}\\ & =& 2\pi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dx}{(e^x-x-1{)}^2+(2\pi {)}^2}\end{array}$$

　ここで, 関数${\displaystyle f(z)=\frac{1}{e^z-z-1}}$を, 経路$\mathrm{Im}z=\pm 2\pi$に沿って積分することを考えると,

$$\begin{array}{rcl}& & {\int }_{\mathrm{Im}z=\pm 2\pi }f(z)dz\\ & =& {\int }_{+\mathrm{\infty }}^{-\mathrm{\infty }}f(2\pi i+x)dx+{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(-2\pi i+x)dx\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{e^x-x-1+2\pi i}-\frac{1}{e^x-x-1-2\pi i})dx\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{-4\pi i}{(e^x-x-1{)}^2+(2\pi {)}^2}dx\end{array}$$

　一方この積分は$|\mathrm{Im}z|<2\pi$内の留数の和に等しいです. この範囲の極は原点のみで(簡単に確かめられます)2位の極なので, その留数は

$$\underset{z=0}{\mathrm{Res}}f=\underset{z\to 0}{lim}\frac{d}{dz}\frac{z^2}{e^z-z-1}=-\frac{2}{3}$$

　従って
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{-4\pi i}{(e^x-x-1{)}^2+(2\pi {)}^2}dx=-\frac{4\pi }{3}$$

即ち

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{e}{x}\right)}^x\mathrm{\Gamma }(x)\sin 2\pi xdx=\frac{2\pi }{3}$$

が得られました.

読んでくださった方, ありがとうございました.