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積分解説8 ∫[0,∞](e/x)^xΓ(x)sin2πxdx

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{asn}[0]{\hspace{16pt}(\mathrm{as}\ n\to\infty)} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{c}[2]{{}_{#1}\mathrm{C}_{#2}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{cb}[0]{\binom{2n}{n}} \newcommand{d}[0]{\mathrm{d}} \newcommand{del}[0]{\partial} \newcommand{dhp}[0]{\dfrac{\pi}2} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{ep}[0]{\varepsilon} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{I}[0]{\mathrm{I}} \newcommand{l}[0]{\ell} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{limx}[0]{\lim_{x\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{nck}[0]{\binom{n}{k}} \newcommand{p}[0]{\varphi} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Res}[1]{\underset{#1}{\mathrm{Res}}} \newcommand{space}[0]{\hspace{12pt}} \newcommand{sumk}[1]{\sum_{k={#1}}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

 以下の積分の解説をします.


$$\int_0^\infty\left(\frac{e}{x}\right)^x\Gamma(x)\sin2\pi x\,dx=\frac{2\pi}{3}$$

 $\ds\int_0^\infty t^{x-1}e^{-xt}\,dt=\frac{\Gamma(x)}{x^x}$ を利用して,

$$\beq &&\int_0^\infty\left(\frac{e}{x}\right)^x\Gamma(x)\sin2\pi x\,dx\\[5pt] &=&\int_0^\infty\int_0^\infty t^{x-1}e^{x-xt}\sin2\pi x\,dt\,dx\\[5pt] &=&\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(t-\log t-1)x}\sin2\pi x\,dx\,\frac{dt}{t}\\[5pt] &=&\int_0^\infty\frac{2\pi}{(t-\log t-1)^2+(2\pi)^2}\frac{dt}{t}\\[5pt] &=&2\pi\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{(e^x-x-1)^2+(2\pi)^2} \eeq$$

 ここで, 関数$\ds f(z)=\frac{1}{e^z-z-1}$を, 経路$\Im z=\pm2\pi$に沿って積分することを考えると,

$$\beq &&\int_{\Im z=\pm2\pi}f(z)\,dz\\[5pt] &=&\int_{+\infty}^{-\infty}f(2\pi i+x)\,dx+\int_{-\infty}^{+\infty}f(-2\pi i+x)\,dx\\[5pt] &=&\int_{-\infty}^\infty\left(\frac1{e^x-x-1+2\pi i}-\frac1{e^x-x-1-2\pi i}\right)\,dx\\[5pt] &=&\int_{-\infty}^\infty\frac{-4\pi i}{(e^x-x-1)^2+(2\pi)^2}\,dx \eeq$$

 一方この積分は$|\Im z|<2\pi$内の留数の和に等しいです. この範囲の極は原点のみで(簡単に確かめられます)2位の極なので, その留数は

$$ \Res{z=0}f=\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\frac{z^2}{e^z-z-1}=-\frac23 $$

 従って
$$ \int_{-\infty}^\infty\frac{-4\pi i}{(e^x-x-1)^2+(2\pi)^2}\,dx=-\frac{4\pi}{3} $$

即ち

$$\int_0^\infty\left(\frac{e}{x}\right)^x\Gamma(x)\sin2\pi x\,dx=\frac{2\pi}{3}$$

が得られました.

${}$

読んでくださった方, ありがとうございました.

${}$

投稿日:20211013

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投稿者

東大理数B4です

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