積分解説8 ∫[0,∞](e/x)^xΓ(x)sin2πxdx
以下の積分の解説をします.
$$\int_0^\infty\left(\frac{e}{x}\right)^x\Gamma(x)\sin2\pi x\,dx=\frac{2\pi}{3}$$
$\ds\int_0^\infty t^{x-1}e^{-xt}\,dt=\frac{\Gamma(x)}{x^x}$ を利用して,
$$\beq &&\int_0^\infty\left(\frac{e}{x}\right)^x\Gamma(x)\sin2\pi x\,dx\\[5pt] &=&\int_0^\infty\int_0^\infty t^{x-1}e^{x-xt}\sin2\pi x\,dt\,dx\\[5pt] &=&\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(t-\log t-1)x}\sin2\pi x\,dx\,\frac{dt}{t}\\[5pt] &=&\int_0^\infty\frac{2\pi}{(t-\log t-1)^2+(2\pi)^2}\frac{dt}{t}\\[5pt] &=&2\pi\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{(e^x-x-1)^2+(2\pi)^2} \eeq$$
ここで, 関数$\ds f(z)=\frac{1}{e^z-z-1}$を, 経路$\Im z=\pm2\pi$に沿って積分することを考えると,
$$\beq &&\int_{\Im z=\pm2\pi}f(z)\,dz\\[5pt] &=&\int_{+\infty}^{-\infty}f(2\pi i+x)\,dx+\int_{-\infty}^{+\infty}f(-2\pi i+x)\,dx\\[5pt] &=&\int_{-\infty}^\infty\left(\frac1{e^x-x-1+2\pi i}-\frac1{e^x-x-1-2\pi i}\right)\,dx\\[5pt] &=&\int_{-\infty}^\infty\frac{-4\pi i}{(e^x-x-1)^2+(2\pi)^2}\,dx \eeq$$
一方この積分は$|\Im z|<2\pi$内の留数の和に等しいです. この範囲の極は原点のみで(簡単に確かめられます)2位の極なので, その留数は
$$ \Res{z=0}f=\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\frac{z^2}{e^z-z-1}=-\frac23 $$
従って
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac{-4\pi i}{(e^x-x-1)^2+(2\pi)^2}\,dx=-\frac{4\pi}{3}
$$
即ち
$$\int_0^\infty\left(\frac{e}{x}\right)^x\Gamma(x)\sin2\pi x\,dx=\frac{2\pi}{3}$$
が得られました.
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読んでくださった方, ありがとうございました.
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