今回はつぎの式(☆)を示したいと思います
但し、
STEP1
STEP2
(注)この記事ではウォリス積の証明はしません。
代わりに高校数学の美しい物語さんウォリス積のページのリンクを貼っておきます。
https://manabitimes.jp/math/760
まず以下の式(甲)を示します
但し
5行目から6行目はマクローリン型不等式
を用いた。
ここで
これと上の不等式より
また、(甲)を使うと
より
が導かれます。
また、途中式をみるとつぎの式(丙)もわかります
まずつぎの式(丁)を示します。
条件より、区間
よって
ここで
(∵ウォリス積)に注意すると
よって
したがって
(甲)、(乙)、(丁)より
です。
最後まで読んでくださりありがとうございました。