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(0,1)とRの対応

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$$$$

$f(x)=\frac{1}{1-x}-\frac{1}{x}$とする

$f:(0,1)\to\mathbb{R}$は全単射

$f'(s)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(1-x)^2}>0$なので$f$は単射
$f$は連続かつ$\lim _{x\to0}f(x)=-\infty$かつ$\lim _{x\to1}f(x)=\infty$なので全射

ちなみに逆写像は汚くて$f^{-1}(y)=\frac{\sqrt{y^2+4}+y-2}{2y}$

追記: google charts で描いてみた
1/(1-x)-1/x 1/(1-x)-1/x

投稿日:20211015

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usagiop
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