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初等幾何の個人的未解決問題

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{dps}[0]{\displaystyle} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

3月ぐらいに見つけたもので何かコンテスト等に使おうと思っていたのですが自力で証明できず,学業でいそがしくて手を付けられない状態にいてこのままでは埒があかないと思ったので公開することにしました.

三角形$ABC$の外接円を$\Gamma$とし$\Gamma$上に動点$P$を取る.$P$から三角形$ABC$の各辺に下ろした垂線が$\Gamma$と再び交わる点をそれぞれ$D,E,F$とする.$D,E,F$それぞれについての三角形$ABC$に関するシムソン線で囲まれる三角形の外心,垂心をそれぞれ$O,H$とする.$P$を動かした時$O,H$の軌跡は一致し三角形$ABC$$9$点円の中心を中心とする円となる.

証明できたり進展があったりしたら一報ください.
(多少は考察したことがあるので余裕が出来たら書いていきたいと思います)

(追記)人々によって初等解も計算解も見つかりました. ありがとうございます.

投稿日:20211016
更新日:512

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