自作問題置き場

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僕が今まで作った問題です.
クソ問はなるべく除くようにしています.あと,出典的なものが書いているものはそこから頑張って探せば答えが見つかる可能性が高いです(ちゃんとしたものとは限りませんが).分野は適当につけてます.(不備等がありましたらこっそり教えてください)
$1, 2, 3$ はJMO模試より

1N

以下の等式をともにみたす正の整数の組 $(a, b, c, d, e)$ をすべて求めよ.
$a b + c^{2} + 3 d^{2} = 14 \cdot 3^{e}$
$2 a c + a^{2} - b^{2} = d \cdot 3^{e}$

2N

$n$ を $2$ 以上の整数とする. 以下の等式をともにみたす正の整数の組 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, b, c)$ をすべて求めよ.
$a_{i}^{n} = a_{i + 1} + b^{c} (i = 1, 2, \dots, n - 1)$
$a_{1}^{n} + a_{2}^{n} + \dots + a_{n}^{n} = b^{n}$

3N

$\frac{5^{3 p q} - 1}{(p^{2} + 10) (3^{q} - 8)}$ が整数となるような素数 $(p, q)$ の組をすべて求めよ.

4A(OMC16D)

以下の条件を満たす $x$ の多項式 $f (x)$ を求め,その係数の総和を求めよ.
条件: $f (x) f^{'} (x) f^{″} (x) f^{‴} (x) = 1152 x (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)^{6}$

5N(OMC18F)

$x, y$ を $x > 0, y \neq 0, x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = 4$
を満たす有理数とする. $x$ を既約分数で表したとき分母と分子の差が $10^{10} + 41421^{2}$ だった時 $x$ を既約分数で表したときの分子の値として考えられるものの中で最も大きい値を求めよ.

6A(OMC10D)

正の実数の数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{500}$ が $a_{1} + a_{2} + . . . + a_{500} \leq 2000$ を満たすとする.
このとき $a_{1}^{2}, a_{2}^{2} + 2 a_{2} a_{1}, a_{3}^{2} + 2 a_{3} (a_{1} + a_{2}), . . ., a_{500}^{2} + 2 a_{500} (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{499})$ の最小値として考えられる値のうち最も大きいものの整数部分はいくつか.

7N(OMC10F)

次の任意の整数 $x$ に関する条件を満たす正整数 $N$ の総積を求めてください.
条件: $x | N^{2} - 1 ⟹$ 全ての $n m = \frac{x^{2} - 1}{N}$ を満たす整数 $n, m$ は $x | n^{2} - m^{2}$ を満たす.

8,9,10は僕の記事に書いた問題

8N

$\frac{n^{n} - n}{(n - 1)!}$ が整数になるような正整数 $n$ を全て求めよ.

9N

以下の式を満たす非負整数の組 $(m, n)$ を全て求めよ.
$13^{m} - 4^{m} = 5^{n} - 2^{n}$

10N

$n$ を非負整数とし,多項式 $f_{n} (x)$ を $f_{0} (x) = x, f_{n + 1} (x) = f_{n} (20 x^{2} + x)$ で定める.
このとき $f_{2020!} (2020) - 2020$ の末尾の $0$ の個数を求めよ.

11N( 過去ツイより )

$\frac{n^{p} - 1}{p^{2} - n^{2}}$ が非負整数となるような素数と正整数の組 $(p, n)$ を全て求めよ.

12N( 過去ツイより )

$(n - 2)! = n^{m} + 1$ を満たす正整数の組 $(m, n)$ を全て求めよ.

13N(A)

以下の条件を満たす整数係数三次多項式 $f (x)$ を全て求めよ.
条件: $f (x) f^{'} (x) f^{″} (x) = 0$ が $6$ つの異なる整数解を持つ.

14A(積分コンテスト)

$\int_{\frac{1}{ϕ}}^{ϕ} \frac{1 + x^{2}}{e^{π} x^{2} + x^{2} e^{4 \arctan x}} d x = ?$

15A( 過去ツイより )

$A > 0, B > 0$ とする. $f (x) = x^{2} + \int_{0}^{1} | f (t) | (A x + B t) d t$ を満たす関数 $f (x)$ が存在するような $A, B$ の条件を $A B$ 平面上に図示し,その面積を求めよ.

16N( 過去ツイより )

三桁の正整数 $A B C$ ( $A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0$ )で $A B!, B C!, C A!$ の末尾の $0$ の個数を並び替える等比数列になるものを全て求めよ.
ただし $X Y$ で $10 X + Y$ を表し, $X Y Z$ で $100 X + 10 Y + Z$ を表すこととする.

17N( 過去ツイより )

高々 $2$ 桁の非負整数全体を良い整数と呼ぶ.
良い整数 $n$ を $2$ 桁の整数として $a b$ ( $a, b$ は $0$ 以上 $9$ 以下の整数)と表したときの $| a^{2} - b^{2} |$ の値を $f (n)$ とおく.( $f (n)$ は良い整数になる.)
$f$ を $2020$ 回繰り返した時の値 $f (f (. . . f (n)))$ が $81$ となるような $n$ を全て求めよ.

18G( 過去ツイより )

円 $O$ 上に $2$ 点 $B, C$ をとり,半直線 $B C$ 上に点 $F$ を $O$ の外部になるように取る. $△ O B C$ の外接円を $Γ$ とする. $B C$ の中点を $M$ とし, $O M$ と $Γ$ の $O$ でない交点を $E$ , $O F$ と円 $O$ の二つの交点を $F$ に近い方から $H, G$ とし, $G C$ と $Γ$ の $C$ でない交点を $I$ , $B H$ と円 $Γ$ , $I E$ の交点をそれぞれ $J (\neq B), K$ とおく. $K M$ と $J C$ の交点を $L$ , $E L$ と $Γ$ の $E$ でない交点を $P$ , $O P$ と $I C, K L$ の交点をそれぞれ $N, X$ とするとき,四角形 $N, X, L, C$ が平行四辺形となることを示せ.

19(OMC22F)

$(1)$ (原案) $x^{2} + 4 x y + 8 y^{2} = 2020$ をみたす複素数のうち, $x, y$ をそれぞれ $2$ 乗すると共に整数となるものはいくつあるか.

$(2)$ $x^{2} + 4 x y + 8 y^{2} = 10^{2021}$ をみたす複素数のうち, $x, y$ をそれぞれ $2$ 乗すると共に整数となるものはいくつあるか.

20N( 最高難度の作問！！より )

整数 $n$ に対して偶数なら $2$ で割り,奇数なら二乗して $1$ を引くという操作を繰り返したとき有限回の操作で整数が $0$ になるとき,元の整数を良い整数する.良い整数を全て求めよ.

21N?( 多項式の値の総積を素数で割った余り )

$K$ を代数体, $O_{K}$ をその整数環, $f (x) \in O_{K} [x]$ を多項式とすると $O_{K}$ の有限部分集合 $S$ が存在して任意の極大イデアル $p$ に対して $\prod_{i \in O_{K} / p} f (i) \equiv s (mod p)$ となる $s \in S$ が存在する事を示せ.

22A( 過去ツイより )

$lim_{x \to \infty} x ({(1 + \frac{1}{x})}^{- x} - {(1 - \frac{1}{x})}^{x}) = ?$

22A( 過去ツイより )

$f (x)$ を実数から実数への連続関数とし, 任意の実数 $x, y$ に対して,
$f (x - y) = \int_{f (x)}^{f (y)} \frac{f (t)}{t} d t$
を満たすとき, $f (x)$ を求めよ.

23N( OMC不採用問題 )

$n \leq 1000$ かつ以下の $P$ が整数となるような正整数の組 $(n, a_{1}, a_{2}, . . ., a_{10})$ はいくつありますか？
$P = \frac{((2 n)!)^{13}}{(a_{1}^{n} + 1) (a_{2}^{n} + 1) \dots (a_{10}^{n} + 1)}$

24A( OMC不採用問題 )

$x_{1}, . . . x_{20}$ を実数とするとき
$\sin x_{1} \cos x_{2} + 2 \sin x_{2} \cos x_{3} + . . . + 2^{18} \sin x_{19} \cos x_{20} + 2^{19} \sin x_{20} \cos x_{1}$
の最大値を求めてください.

25N(OMC040A)

$10^{10}$ の正の約数の総積は $2$ でちょうど何回割り切れますか？

26C(OMC040B)

空間内に $6$ 点 $A, B, C, D, E, P$ があり. 点 $P$ を点 $X$ に関して対称に移動する操作を $f_{X}$ で表します.
$f_{A}, f_{B}, f_{C}, f_{D}, f_{E}$ をそれぞれ $2$ 回ずつ施す方法であって, $6$ 点の配置によらず $P$ が必ず最初の位置に戻ってくるような順序は何通りありますか？

27G(OMC040C)

$A C = A D = B D$ なる凸四角形 $A B C D$ において, 角 $C$ は直角であり, $2$ 本の対角線は直角で交わります. 線分 $A C$ 上の点 $P$ が $A P = B P = 10$ をみたすとき, $A B C D$ の面積を求めてください.

28A(OMC040D)

整数の組 $(a, b, c, d)$ に対して, 以下の $x$ の五次方程式の複素数解はすべて絶対値が $3$ でした.
$x^{5} + a x^{4} + 9 b x^{3} + 81 x^{2} + 27 c x + 243 d = 0$
このような組すべてに対して, 値 $a \times b \times c \times d$ の総積を求めてください.

29C(OMC040E)

$A, B$ の二人が以下のルールに基づき, $2000$ 以下の正整数一つずつを取り合うゲームを行います：

残り $2$ 数になるまでは, $A$ を先攻として交互に数を一つずつ選んで取る.
残り $2$ 数になった時点で, $A, B$ の取った $999$ 数の最大値をそれぞれ $M_{A}, M_{B}$ とする.
$M_{A} < M_{B}$ ならば $A$ が, $M_{A} > M_{B}$ ならば $B$ が一方の数を選んで取り, もう一方が最後の一つを取る.
最後に $A, B$ が取った数をそれぞれ $a, b$ とする.
$a M_{A} > b M_{B}$ ならば $A$ の勝ち, $a M_{A} < b M_{B}$ ならば $B$ の勝ち, $a M_{A} = b M_{B}$ ならば引き分けとする.
　ここで, $2000$ 以下の正整数に対して定義される関数 $f$ を次のように定めます：
$A$ が最初に $m$ が書かれたカードを取ったのち, 両者が勝ちを目指して最善な行動を取り続けると仮定したとき, 帰結が $B$ の勝ちならば $f (m) = m$ , $A$ の勝ちならば $f (m) = - m$ , 引き分けならば $f (m) = 0$ とする.
このとき, $m = 1, 2, \dots, 2000$ について $f (m)$ の総和を求めてください.

30N(OMC040F)

$N$ を正整数とします. 数列 ${a_{n}}_{n = 1, 2, \dots}$ を
$a_{1} = a_{2} = 1, a_{n + 2} = a_{n + 1} + N a_{n} (n = 1, 2, \dots)$
で定めるとき, $a_{n} = p^{m}$ なる合成数 $n$ , 素数 $p$ , $3$ 以上の整数 $m$ の組の個数を $f (N)$ とします. このとき
$f (1) + f (2) + \dots + f (\frac{3^{12} - 1}{2})$
を求めてください. ただし, いずれも小数第 $4$ 位で四捨五入した値として, 以下が保証されます.
$\log_{5} 3 \approx 0.683, \log_{7} 3 \approx 0.565, \log_{11} 3 \approx 0.458, \log_{13} 3 \approx 0.428$

31N(OMCボツ問)

以下をみたす非負整数 $(a, b, c)$ の組をすべて求めよ.
$2^{a} + 37^{a} - 3^{b} = c^{2}$

32N

文字列 $X$ は以下の性質を満たす
(1)ある正整数 $k$ があって $X$ には $1$ から $k$ の整数が $1$ 度ずつ現れる(ほかの文字は現れない)
(2)任意の $k + 1$ 以上の整数 $m$ に関して $X$ を $m$ 進数表記とみなした時の値は $5$ の倍数
このような $X$ を $10$ 進数と見なしたとき最も小さい値を求めよ.

33N

以下の条件を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ を全て求めよ.
$(1) \frac{2 \cdot b!!}{2 a + c + \sqrt{c^{2} + 4 a c + 4 \cdot b!! + 4}} \in Z$
$(2) a + 1, a - 1$ はともに素数

34C

以下の条件を満たす $2020$ 以下の正整数から $2020$ 以下の正整数への関数 $f (n)$ の個数を求めよ.
条件: $(f (n + 1) - f (n)) (n + f (1) - f (n + 1)) \geq 0$

35G( 未解決 )

三角形 $A B C$ の外接円を $Γ$ とし $Γ$ 上に動点 $P$ を取る. $P$ から三角形 $A B C$ の各辺に下ろした垂線が $Γ$ と再び交わる点をそれぞれ $D, E, F$ とする. $D, E, F$ それぞれについての三角形 $A B C$ に関するシムソン線で囲まれる三角形の外心,垂心をそれぞれ $O, H$ とする. $P$ を動かした時 $O, H$ の軌跡は一致し三角形 $A B C$ の $9$ 点円の中心を中心とする円となることを示せ.

36A

$n$ を正整数, $f (x) = x^{2} + 1$ とする.このとき以下の条件を満たす複素数係数 $n$ 次多項式 $g (x)$ の個数を $a_{n}$ とする.

$g (x)$ の最高次係数は $1$
任意の複素数 $α$ について $g (α) = 0 ⟹ g (f (α)) = 0, g^{'} (α) \neq 0$

このとき形式冪級数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ をできる限り簡単な形で表せ.

37A(OMC060A)

$1$ より大きい実数 $x, y, z$ に対し, $81 \log_{x} y + 72 \log_{y} z + 64 \log_{z} x$ のとり得る最小値を求めてください.

38C(OMC060B)

以下の条件をみたすように, $6$ 人の生徒に $6$ つの係を割り当てる方法は何通りありますか？

各人にはちょうど $2$ つの相異なる係を割り当てる.
それぞれの係はちょうど $2$ 人の生徒が受け持つ.
どの $2$ つの係についても, その両方を割り当てられた生徒は高々 $1$ 人である.
ただし, 生徒および係はすべて区別するものとします.

39G(OMC060C)

円 $Γ$ に内接する三角形 $A B C$ において, 辺 $B C$ の中点を $M$ とし, $M$ から $A B, A C$ におろした垂線の足をそれぞれ $D, E$ とします. また, $M$ から $A B$ におろした垂線と $Γ$ の交点のうち, $B C$ に関して $A$ と反対側にあるものを $F$ , もう一方を $G$ とします. $D G = 4, D M = M F = 9$ が成立するとき, $D E$ の長さは互いに素な正整数 $a, b$ によって $\sqrt{\frac{a}{b}}$ と表されます. $a + b$ を解答してください.

40C(OMC060D)

$2 n$ 個の箱が左右一列に並んでおり, 初め左から $k$ 番目の箱には, $k \leq n$ のとき $k$ 個, $k > n$ のとき $2 n + 1 - k$ 個の球が入っています ( $k = 1, 2, \dots, 2 n$ ). これらに対し,

一番右以外の箱に入った球を一つ選び, それを箱から取り出し, その箱の一つ右の箱に移す.

という操作を繰り返します. どの箱にも球が $n$ の倍数個入っているようにするために必要な最小の操作の回数を $f (n)$ とします. ただし, この操作を有限回繰り返してそのような状態にできることが保証されます.
　このとき, $f (10^{6} - 1) + f (10^{6})$ を求めてください.

41N(OMC060F)

$N = 2^{5} \times 3^{4} \times 5^{3} \times 17^{2} \times 257$ について, 以下をみたす $0$ 以上 $N$ 未満の整数 $m$ の個数を求めてください.

ある正の整数 $n$ と正の整数 $K$ が存在し, 整数列 $a_{0}, a_{1}, \dots$ を
$a_{0} = 1, a_{k + 1} = n^{a_{k}} - 1 (k = 0, 1, \dots)$
で定めると, $a_{K} \equiv a_{K + 1} \equiv \dots \equiv m (\mod N)$ となる.

42N

以下の条件を満たす整数 $n$ を全て求めよ:
十分大きい全ての整数 $x$ に対して $\frac{2 (y^{4} + n)}{x^{2} + n}$ が整数となる整数 $y$ が存在する.

43N

以下の条件を満たす正整数から正整数への関数 $f$ を全て求めよ.

任意の正整数 $x, y, z$ について
$0 \leq f (x) + y^{2} - x y z \leq z$ を満たすなら, $x^{2} + f (y) - x y z$ は平方数である.

44C(サーモン杯問題2)

$X$ を頂点が $24680$ 個ある穴のない多面体とします. $X$ の各面 $F$ に対し, $F$ の辺の数を $d_{F}$ とし, $F$ の辺 $e$ で, $F$ と辺 $e$ を共有して隣り合う面 $F^{'}$ が $d_{F} \leq d_{F^{'}}$ をみたすものについての $11 + d_{F^{'}}^{2}$ の総和を $\frac{1}{d_{F}}$ 倍した値を $f (F)$ とします.

$f (F)$ の総和を $X$ の辺数で割ったときの商が最小となるとき $X$ の面の数の最大値を求めてください.

45N(クソ問)

次の条件をみたす最小の非負整数 $m$ を求めてください:
$3^{a} - 2^{b} + m = c^{2}$ をみたす非負整数 $a, b, c$ が存在しない.

46C(サーモン杯ボツ問)

　 $p = 13$ とします. 整数係数多項式 $P (x), Q (x)$ が似ているとはある $p - 1$ と互いに素な正整数 $a$ があって全ての正整数 $n$ について $P (n^{a}) \equiv Q (n) (\mod p)$ をみたす事を言います. また, 各多項式 $P (x)$ についてそのスコアを $P (1)$ を $p$ で割った余りとして定めます.

どの $2$ つの多項式を選んでも似ていないように整数係数多項式の集合を定めるときそのスコアの総和の最大値を $M$ とします. $M = \prod_{p} p^{e_{p}}$ と素因数分解したとき $\sum_{p} p e_{p}$ を求めてください. なお, $M$ は $10000$ 以上 $50000$ 以下の素因数を持ちます.

47N( LTEの補題を満たす多項式 )

次の条件を満たす定数ではない整数係数多項式 $P$ を全て求めよ:
任意の素数 $p$ に対してある非負整数 $n_{p}, N_{p}$ が存在し, $x > y > N_{p}$ かつ $x \equiv y (\mod p), x ≢ 0 (\mod p)$ なる任意の整数 $x, y$ に対して $v_{p} (P (x) - P (y)) = v_{p} (x - y) + n_{p}$ が成立する.