LTEの補題を満たす多項式

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今回は整数係数多項式と戯れてみます.

次の条件を満たす定数ではない整数係数多項式 $P$ を全て求めよ:
任意の素数 $p$ に対してある非負整数 $n_{p}, N_{p}$ が存在し, $x > y > N_{p}$ かつ $x \equiv y (\mod p), x ≢ 0 (\mod p)$ なる任意の整数 $x, y$ に対して $v_{p} (P (x) - P (y)) = v_{p} (x - y) + n_{p}$ が成立する.

見てすぐ分かることはLTEっぽいということです. なので $P (x) = x^{n}$ が条件を満たしそう. ただ $p = 2$ を考えると $n$ は奇数であって欲しいです. あとは定数倍とか定数ずらすとか考えると $P (x) = a x^{n} + b$ ( $a \neq 0, n$ は奇数)になりそうです. これを示していきましょう.

$x - y = z$ として状況を見やすくすると $v_{p} (P (y + z) - P (y)) = v_{p} (z) + n_{p}$ となります. 式が微分っぽいのでマクローリン展開します. $P (y + z) - P (y) = z P^{'} (y) + \frac{z^{2}}{2} P^{″} (y) + \dots$ . ここで $v_{p} (z)$ が十分大きい時 $v_{p} (P (y + z) - P (y)) = v_{p} (z P^{'} (y)) = v_{p} (z) + v_{p} (P^{'} (y))$ となります. よって $n_{p} = v_{p} (P^{'} (y))$ です. (こんな感じの議論は ISL2021N8の中盤の議論でも出てきましたね)

いま示せたことは結局 $v_{p} (P^{'} (y))$ が $y$ が $p$ で割り切れない十分大きい整数の時 $y$ の値に依らない事です. よってここから $P^{'} (y) = a x^{n}$ みたいに書けることを示します. この記事に出てきたシューアの定理を使えば $v_{p} (P^{'} (y)) > 0$ なる $p$ が取れて他の適当な $y$ に対しては $v_{p} (P^{'} (y)) = 0$ となって矛盾するみたいに出来そうです. しかし $p |̸ y$ という条件が邪魔です. これは $P^{'} (x)$ の素因数で $x$ で割り切れないものを使うことで解決出来ます. これはきちんと証明しましょう.

$P^{'} (x)$ の素因数は $x$ のみである.

$Q (x) | P^{'} (x)$ をみたす $Q (x)$ を $x$ と互いに素な定数でない整数係数多項式とする. $x |̸ Q (x)$ より $Q (0) \neq 0$ . また, $Q$ は定数でないのである正整数 $a$ が存在して $Q (a) \neq 0$ . シューアの定理よりある正整数 $k$ が存在して $Q (k)$ は $Q (0), Q (a), a$ より大きい素因数 $p$ をもつ. $y = p N_{p} + k, p N_{p} + a$ とすると $p |̸ y$ かつ $y > N_{p}$ なので上の議論より $v_{p} (P^{'} (p N_{p} + k)) = v_{p} (P^{'} (p N_{p} + a))$ . しかし左辺は正で右辺は $0$ なので矛盾. よって補題は示された.