多項式の総積を素数で割った余り

定理1は定理2の特殊な場合なので定理2を証明する.
後々ややこしくなるのを防ぐため$f$の最高次係数$a$もしくは$2$を割り切る極大イデアルに関する総積の値(この種類は有限である)は$S$に含めておき,以下$\mathfrak p$は$2a$を割り切らないものとする.
$\displaystyle\prod_{i\in \mathcal O_K/\mathfrak p}f(i)(\bmod \mathfrak p)$を簡単な形で書くことが目標である.$k(\mathfrak p)=\mathcal O_K/\mathfrak p$とすると,因数定理より$\displaystyle\prod_{i\in k(\mathfrak p)}(i-t)=(-1)^{\#k(\mathfrak p)}(t^{\#k(\mathfrak p)}-t)=t-t^{\#k(\mathfrak p)}$がわかる.
$f(x)$の$K$における最小分解体を$L$とし,その整数環を$\mathcal O_K$とし,$L$における$f$の根を(重複を込めて)$\alpha_1,...,\alpha_m$とし,$\mathfrak p$を含む極大イデアルを一つ選び$\mathfrak P$とする.このとき$k(\mathfrak P)=\mathcal O_L/\mathfrak P$は$k(\mathfrak p)$の有限次拡大であり,$\overline\alpha_i$(最初の仮定より定義可能である)を用いて$\overline f(x)=a\displaystyle\prod_{i=1}^m(x-\overline\alpha_i)$と表される.よって
$$ P(\mathfrak p)=\prod_{i\in k(\mathfrak p)}\overline f(i)=\prod_{j=1}^ma\prod_{i\in k(\mathfrak p)}(i-\overline\alpha_j)=a^m\prod_{j=1}^m(\overline\alpha_j-\overline\alpha_j^{\#k(\mathfrak p)}) $$を得る.ここで,$\#k(\mathfrak p)$乗する写像を言い換えることを考えるとこれはフロベニウス写像であるので,$\mathrm{Gal}(k(\mathfrak P)/k(\mathfrak p))$の生成元である.(有限体の有限次拡大はガロア拡大である)また,同型$D_\mathfrak{P}/I_\mathfrak P\cong\mathrm{Gal}(k(\mathfrak P)/k(\mathfrak p))$($D_\mathfrak{P},I_\mathfrak P\in \mathrm {Gal}(L/K)$は分解群,惰性群)がある事を思い出すと,(任意の$\mathfrak p$に対して)ある$\sigma\in \mathrm{Gal}(L/K)$があって$$P(\mathfrak p)\equiv a^m\prod_{j=1}^m(\alpha_j-\sigma(\alpha_j))(\bmod \mathfrak p)$$ここで$a^m\prod_{j=1}^m(\alpha_j-\sigma(\alpha_j))\in K$(ガロア群の作用で不変なので)の取り得る値は$L/K$が有限次拡大であることから有限である.また,最小多項式を考えると$a\alpha_i\in O_L$であるため$a^m\prod_{j=1}^m(\alpha_j-\sigma(\alpha_j))\in \mathcal O_K$がわかる.従って$S$にその値を全て追加したものを取れば条件を満たす有限集合となる.