sinの無限積表示を高校範囲で示してみた

今回はつぎの式を示します。

証明

非負整数$n$と実数$x$に対してつぎの積分${\displaystyle I_n(x)}$を考えます。

但し、${\displaystyle I_0(x)={\int }_0^{\pi }\sin x\theta d\theta }$です。
部分積分を実行すれば$n\geqq 2$で、$x\ne 0$のとき、

です。よって$n\geqq 2$で
$$\begin{gathered} {\displaystyle ((2n{)}^2-x^2)((2n-1{)}^2-x^2)I_{2n}(x)I_{2n-1}(x) \\ =(2n)(2n-1{)}^2(2n-2)I_{2n-2}(x)I_{2n-3}(x)} \end{gathered}$$
ここで${\displaystyle f_n(x)=\pi x\prod _{k=1}^n(1-\frac{x^2}{k^2})}$とすると、
$$\begin{gathered} {\displaystyle f_{2n}(x)2n{I}_{2n}(x)I_{2n-1}(x) \\ =f_{2n-2}(x)(2n-2)I_{2n-2}(x)I_{2n-3}(x)} \end{gathered}$$
したがって、
$$\begin{gathered} {\displaystyle f_{2n}(x)2n{I}_{2n}(x)I_{2n-1}(x) \\ =2f_2(x)I_2(x)I_1(x) \\ \therefore f_{2n}(x)n{I}_{2n}(x)I_{2n-1}(x) \\ =\pi x\frac{1-x^2}{4}(2^2-x^2)I_2(x)I_1(x) \\ =\pi x\frac{1-x^2}{2}{I}_0(x)I_1(x)} \end{gathered}$$
よって$x\notin \{-1,0,1\}$のとき、
$$\begin{gathered} {\displaystyle I_0(x)={\int }_0^{\pi }\sin x\theta d\theta \\ =[-\frac{\cos x\theta }{x}{]}_0^{\pi }=\frac{2{\sin }^2(\frac{\pi x}{2})}{x}} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} {\displaystyle I_1(x)={\int }_0^{\pi }\sin x\theta \sin \theta d\theta \\ =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi }(\cos ((x-1)\theta )-\cos ((x+1)\theta ))d\theta \\ =\frac{1}{2}[\frac{\sin ((x-1)\theta )}{x-1}-\frac{\sin ((x+1)\theta )}{x+1}{]}_0^{\pi } \\ =\frac{\sin \pi x}{1-x^2}} \end{gathered}$$
より、

これは$x\in \{-1,0,1\}$のときも(両辺 0 になって)成立する。
ここで、任意の実数$x$で
$$\begin{gathered} {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{n}{I}_n(x) \\ =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{n}{\int }_0^{\pi }\sin x\theta {\sin }^n\theta d\theta \\ =\sqrt{2\pi }\sin (\frac{\pi x}{2})} \end{gathered}$$
なので、

(注)この式については前回の記事→ https://mathlog.info/articles/2691
をみてください。

$$\begin{gathered} {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{I}_{2n}(x)I_{2n-1}(x) \\ =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{1-\frac{1}{2n}}}\sqrt{2n}{I}_{2n}(x)\sqrt{2n-1}{I}_{2n-1}(x) \\ =\frac{1}{2}(\sqrt{2\pi }\sin (\frac{\pi x}{2}){)}^2 \\ =\pi {\sin }^2(\frac{\pi x}{2})} \end{gathered}$$
よって$x\notin \mathbb{Z}$のとき、
$$\begin{gathered} {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{2n}(x) \\ =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi {\sin }^2(\frac{\pi x}{2})\sin \pi x}{n{I}_{2n}(x)I_{2n-1}(x)} \\ =\sin \pi x} \end{gathered}$$
$x\in \mathbb{Z}$のとき、明らかに${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{2n}(x)=0}$なので、任意の実数$x$で、
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{2n}(x)=\sin \pi x}$
これと、任意の実数$x$で、
$$\begin{gathered} {\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{2n+1}(x) \\ =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_{2n}(x)(1-\frac{x^2}{(2n+1{)}^2}) \\ =\sin \left(\pi x\right)(1-0)=\sin \pi x} \end{gathered}$$
より${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=\sin \pi x}$
すなわち

あとがき

${\displaystyle I_n(x)}$の代わりに${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\sinh x\theta {\sin }^n\theta d\theta }$
を考えれば${\displaystyle \sinh }$の無限積表示もえられますね。
最後まで読んでくださりありがとうございました。