cothの級数展開(Fourier級数を使わない手法)

今回は双曲線余接関数($\coth z$)の級数展開を導出します。
$\displaystyle\Gamma(z):=\lim_{n\to∞}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}$
この定義の整合性についてはWikipediaを参照してください。
$\displaystyle\psi(z):=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)$
$=\displaystyle\frac{d}{dz}\lim_{n\to∞}\left(z\log n+\sum_{k=1}^n\log k-\sum_{k=0}^n\log(z+k)\right)$
$=\displaystyle\lim_{n\to∞}\left(\log n-\sum_{k=0}^n\frac{1}{z+k}\right)$
$=\displaystyle-\gamma+\sum_{n\geq1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{z+n-1}\right)$
ここで、オイラー・マスケローニ定数の定義を用いました。
また、Gamma関数の関数等式$\displaystyle\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}$を対数微分することで
$\displaystyle\psi(z)-\psi(1-z)=-\pi\cot \pi z$が得られるため、
$\displaystyle-\pi\cot\pi z=\sum_{n\geq1}-\frac{1}{z+n-1}+\sum_{n\geq1}\frac{1}{1-z+n-1}$
$=\displaystyle-\sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2}-\frac{1}{z}$
$\displaystyle\therefore\pi\cot\pi z-\frac{1}{z}=\sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2-n^2}$
$z\mapsto iz$として、
$\displaystyle\pi\coth\pi z-\frac{1}{z}=\sum_{n\geq1}\frac{2z}{z^2+n^2}$