cothの級数展開(Fourier級数を使わない手法)

今回は双曲線余接関数($\coth z$)の級数展開を導出します。
${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(z):=\underset{n\to \infty }{lim}\frac{n^{z}n!}{\prod _{k=0}^n(z+k)}}$
この定義の整合性についてはWikipediaを参照してください。
${\displaystyle \psi (z):=\frac{d}{dz}\log \mathrm{\Gamma }(z)}$
$={\displaystyle \frac{d}{dz}\underset{n\to \infty }{lim}(z\log n+\sum _{k=1}^n\log k-\sum _{k=0}^n\log (z+k))}$
$={\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}(\log n-\sum _{k=0}^n\frac{1}{z+k})}$
$={\displaystyle -\gamma +\sum _{n\ge 1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{z+n-1})}$
ここで、オイラー・マスケローニ定数の定義を用いました。
また、Gamma関数の関数等式${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}}$を対数微分することで
${\displaystyle \psi (z)-\psi (1-z)=-\pi \cot \pi z}$が得られるため、
${\displaystyle -\pi \cot \pi z=\sum _{n\ge 1}-\frac{1}{z+n-1}+\sum _{n\ge 1}\frac{1}{1-z+n-1}}$
$={\displaystyle -\sum _{n\ge 1}\frac{2z}{z^2-n^2}-\frac{1}{z}}$
${\displaystyle \therefore \pi \cot \pi z-\frac{1}{z}=\sum _{n\ge 1}\frac{2z}{z^2-n^2}}$
$z\mapsto iz$として、
${\displaystyle \pi \coth \pi z-\frac{1}{z}=\sum _{n\ge 1}\frac{2z}{z^2+n^2}}$