多項式をテンソルとして捉え偏微分方程式を解く方法を思いついたので報告するのだ☆
あいさつ
んちゃ！
今回は多項式をテンソルとして捉えなおす事で、偏微分方程式の解析的解を出す方法を考えるZOY☆
特に、本方法の真骨頂は何と言っても(多変数の)多項式の計算を機械に行わせるときクラスを実装してあーだこーだと考えるより圧倒的に簡単に手軽に実装して計算をさせれる事にあると思う。
その様なので、この記事はどちらかと言うと計算機科学に属するのかもしれないわね♪
では読んでいってくださいましなのだ☆
多項式をテンソルとして捉える
$I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\coloneqq \{\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{m_{k}}f_{k}|f_{k}\in\mathbb{C}[x_{1},x_{2},...,x_{n}]\}$はイデアルとなる事を証明せよ。
[1]和に関して閉じている。
\begin{align}
&f_{1},f_{2},...,f_{n},g_{1},g_{2},...,g_{n}\in\mathbb{C}[x_{1},x_{2},...,x_{n}]:\\
&\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{m_{k}}f_{k}+\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{m_{k}}g_{k}=\sum_{k=1}^{n}x^{m_{k}}(f_{k}+g_{k})\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}
\end{align}
[2]スカラー積に関して閉じている。
\begin{align}
&f_{1},f_{2},...,f_{n},g\in\mathbb{C}[x_{1},x_{2},...,x_{n}]:g(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{m_{k}}f_{k})=\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{m_{k}}gf_{k}\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}
\end{align}
関係$\simeq$を以下の様に定めると同値関係となる。
\begin{eqnarray}
f\simeq g\overset{def}{\Leftrightarrow}f-g\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}
\end{eqnarray}
[1]反射律
\begin{eqnarray}
f-f=0\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}よりf\simeq f
\end{eqnarray}
[2]対称律
\begin{align}
&f\simeq g\\
&\Leftrightarrow f-g\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\\
&\Leftrightarrow -(f-g)\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\\
&\Leftrightarrow g-f\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\\
& g\simeq f
\end{align}
[3]推移律
\begin{align}
&f\simeq g\land g\simeq h\\
&f-g,g-h\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\\
&f-h=(f-g)+(g-h)\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\\
&\Rightarrow f\simeq h
\end{align}
商空間$C_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\coloneqq\mathbb{C}[x_{1},x_{2},...,x_{n}]/I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}$に対して、和と積を次の様に導入するとwell-definedである事を証明せよ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
[f]+[g]=[f+g]\\
[f][g]=[fg]
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
以下$f\simeq f^{'},g\simeq g^{'}$とする。
[1]和に関するwell-defined
\begin{eqnarray}
f+g-(f^{'}+g^{'})=f-f^{'}+g-g^{'}\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}
\end{eqnarray}
[2]積に関するwell-defined
\begin{eqnarray}
fg-f^{'}g^{'}&=&f(g-g^{'})+(f-f^{'})g^{'}\in I_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}
\end{eqnarray}
$\mathbb{C}$線形写像$\psi:C_{m_{1}m_{2}\cdots m_{n}}\rightarrow \mathbb{C}^{m_{1}}\otimes \mathbb{C}^{m_{2}}\otimes \cdots\otimes \mathbb{C}^{m_{n}}$を次の様に定める。
\begin{equation}
\psi([x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}])=e_{k_{1}}\otimes e_{k_{2}}\otimes \cdots \otimes e_{k_{n}}
\end{equation}
すると$\psi$はベクトルとして同型写像になる事を示せ。
[1]準同型性
\begin{align}
&\left\{
\begin{array}{l}
f=\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\\
g=\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}g_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{array}
\right.\\
&\Rightarrow \psi(\alpha[f]+\beta[g])\\
&=\psi([\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}(\alpha f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}+\beta g_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}})x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}])\\
&=\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}(\alpha f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}+\beta g_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}})e_{k_{1}}\otimes e_{k_{2}}\otimes\cdots e_{k_{n}}\\
&=\alpha\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}e_{k_{1}}\otimes e_{k_{2}}\otimes\cdots e_{k_{n}}+\beta\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}g_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}e_{k_{1}}\otimes e_{k_{2}}\otimes\cdots e_{k_{n}}\\
&=\alpha\psi([f])+\beta\psi([g])
\end{align}
[2]全射性については明らかなので単射性を示す。
そのために$\ker{\psi}=\{[0]\}$を示す。
実際$[f]=[\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}]\in\ker\psi$が成立したと仮定すると
\begin{equation}
\psi(f)=\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}e_{k_{1}}\otimes e_{k_{2}}\otimes\cdots e_{k_{n}}=0
\end{equation}
なので、$f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}=0$を得る。
多項式$f,g\in\mathbb{C}[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$について、その積$fg$について以下の式が成り立つ事を証明せよ。
\begin{eqnarray}
\psi([f][g])_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}=\sum_{l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}T_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n }l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}g_{l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}
\end{eqnarray}
ただし以下の様に記号を定めた。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
T_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n }l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}=f_{k_{1}-l_{1},k_{2}-l_{2}\cdots ,k_{n}-l_{n}}\quad(k_{i}-l_{i}\geq 0;i=1,2,...,n)\\
T_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n }l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}=0\quad(otherwise)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \psi([f][g])_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}&=&\sum_{l_{1},l_{2},...,l_{n}}f_{k_{1}-l_{1},k_{2}-l_{2},...,k_{n}-l_{n}}g_{l_{1}l_{2}\cdots l_{n}} \end{eqnarray}
多項式$f=\sum_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}f_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}$に対して定まる$(m_{1},m_{2},...,m_{n},m_{1},m_{2},...,m_{n})$型テンソル
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
T_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n }l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}=f_{k_{1}-l_{1},k_{2}-l_{2}\cdots ,k_{n}-l_{n}}\quad(k_{i}-l_{i}\geq 0;i=1,2,...,n)\\
T_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n }l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}=0\quad(otherwise)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
を多項テンソルと呼ぶ。
また多項テンソルに対して積$\odot$を以下の様に定める。
\begin{equation}
(S\odot T)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}\coloneqq S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n }j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}
T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n }k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}
\end{equation}
多項積$\odot$は可換である事を示せ。
$S,T$を$f,g$から定まる任意の多項テンソルとする。すると以下の様に計算できるので証明完了。
\begin{eqnarray}
(S\odot T-T\odot S)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}&=&S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n }j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}
T_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n }k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}-T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n }j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}
S_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n }k_{1}k_{2}\cdots k_{n}}\\
&=&f_{i_{1}-j_{1},i_{2}-j_{2},...,i_{n}-j_{n}}g_{j_{1}-k_{1},j_{2}-k_{2},...,j_{n}-k_{n}}-g_{i_{1}-j_{1},i_{2}-j_{2},...,i_{n}-j_{n}}f_{j_{1}-k_{1},j_{2}-k_{2},...,j_{n}-k_{n}}\\
&=&\sum_{j_{1}=k_{1}}^{i_{1}}\sum_{j_{2}=k_{2}}^{i_{2}}\cdots\sum_{j_{n}=k_{n}}^{i_{n}}(f_{i_{1}-j_{1},i_{2}-j_{2},...,i_{n}-j_{n}}g_{j_{1}-k_{1},j_{2}-k_{2},...,j_{n}-k_{n}}-g_{i_{1}-j_{1},i_{2}-j_{2},...,i_{n}-j_{n}}f_{j_{1}-k_{1},j_{2}-k_{2},...,j_{n}-k_{n}})\\
&=&0
\end{eqnarray}
上記をまとめると多変数多項式$f_{1},f_{2},...,f_{N}\in\mathbb{C}[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$について、各々$x_{i}\quad(i=1,2,...,n)$の$m_{i}$次で打ち切ったもので近似した多項式全体の積について以下の公式が成立する事が導出される。
$T^{(1)},T^{(2)},...,T^{(N-1)}$を与えられた多項式に対応する多項テンソルとする。
すると
\begin{equation}
\psi([f_{1}][f_{2}]\cdots [f_{N}])_{k_{1}k_{2}...k_{n}}=(T^{(1)}\odot T^{(2)}\odot\cdots \odot T^{(N-1)})_{k_{1}k_{2}\cdots k_{n}l_{1}l_{2}\cdots l_{n}}f_{l_{1},l_{2},...,l_{n}}^{(N)}
\end{equation}
が成り立つ。
偏微分も解けるZOY☆
この節では二次元の波動方程式の近似解を求めてみる。
\begin{equation} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial t^{2}}=0 \end{equation}
偏微分演算子$\partial_{x},\partial_{t}$は以下の多項テンソルに対応できる事を証明せよ。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
T^{(x)}_{ijkl}\coloneqq (i+1)\delta_{i+1,k}\delta_{jl}\\
T^{(t)}_{ijkl}\coloneqq (j+1)\delta_{ik}\delta_{j+1,l}\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
下記の計算から直ちに従う。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\partial_{x}x^{k}t^{m}=kx^{k-1}t^{m}\\
\partial_{t}x^{k}t^{m}=mx^{k}t^{m-1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
波動方程式
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\phi}{\partial t^{2}}=0
\end{equation}
の解$\phi\coloneqq \sum_{m,n}a_{m,n}x^{m}t^{n}$解を求めよ。
[1]与えられた波動方程式は以下の様な同値なテンソル方程式に書き換えれる。
\begin{eqnarray}
T_{ijkl}^{(x)}T_{klmn}^{(x)}a_{mn}-\frac{1}{c^{2}}
T_{ijkl}^{(t)}T_{klmn}^{(t)}a_{mn}&=&(i+1)(k+1)\delta_{i+1,k}\delta_{jl}\delta_{k+1,m}\delta_{ln}a_{mn}-\frac{1}{c^{2}}(j+1)(l+1)\delta_{ik}\delta_{j+1,l}\delta_{km}\delta_{l+1,n}a_{mn}\\
&=&(i+1)(i+2)a_{i+2,j}-\frac{(j+1)(j+2)}{c^{2}}a_{i,j+2}\\
&=&0
\end{eqnarray}
ゆえに以下の漸化式を得る。
\begin{equation}
a_{i+2,j}=\frac{1}{c^{2}}\frac{(j+1)(j+2)}{(i+1)(i+2)}a_{i,j+2}
\end{equation}
[2]上記の漸化式を解いて下記の様な解析解を得る。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
a_{2m,n}=\frac{1}{c^{2m}}\frac{(n+1)_{2m}}{(2m)!}a_{0,n+2m}\\
a_{2m+1,n}=\frac{1}{c^{2m}}\frac{(n+1)_{2m}}{(2m+1)!}a_{1,n+2m}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\phi&=&\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}a_{2m,n}x^{2m}t^{n}+\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}a_{2m+1,n}x^{2m+1}t^{n}\\
&=&\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m}}{(2m)!c^{2m}}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)_{2m}a_{0,n+2m}t^{n}+\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!c^{2m}}\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)_{2m}a_{1,n+2m}t^{n}
\end{eqnarray}
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