二次方程式の解の公式　証明

二次方程式の解の公式

中学で習う基礎的で重要な公式です。

解の公式を平方完成を用いて証明します。

平方完成による証明

$a{x}^2+bx+c=0$の左辺を平方完成していく。

$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2})-\frac{b^2}{4a}+c=0$

$a(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2}{4a}-c$

右辺を通分して両辺を$a$で割る：

$(x+\frac{b}{2a}{)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

両辺のルートを取る：

$x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\frac{b}{2a}$を移行する：

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

注：$D=b^2-4ac<0$の場合は$\sqrt{D}=\sqrt{-D}i$と解釈してください。