$$ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)の解は，x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} $$
中学で習う基礎的で重要な公式です。
解の公式を平方完成を用いて証明します。
$ax^2+bx+c=0$の左辺を平方完成していく。
$a( x^2+\frac{b}{a}x+ \frac{b^2}{4a^2} ) - \frac{b^2}{4a} + c = 0$
$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a}-c$
右辺を通分して両辺を$a$で割る：
$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
両辺のルートを取る：
$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\frac{b}{2a}$を移行する：
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
注：$D=b^2-4ac<0$の場合は$\sqrt{D}=\sqrt{-D}i$と解釈してください。