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二次方程式の解の公式 証明

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二次方程式の解の公式

二次方程式の解の公式

$$ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)の解は,x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} $$


中学で習う基礎的で重要な公式です。

解の公式を平方完成を用いて証明します。

平方完成による証明

$ax^2+bx+c=0$の左辺を平方完成していく。

$a( x^2+\frac{b}{a}x+ \frac{b^2}{4a^2} ) - \frac{b^2}{4a} + c = 0$

$a(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a}-c$

右辺を通分して両辺を$a$で割る:

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

両辺のルートを取る:

$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\frac{b}{2a}$を移行する:

$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

注:$D=b^2-4ac<0$の場合は$\sqrt{D}=\sqrt{-D}i$と解釈してください。

投稿日:20201029

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