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積分1

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はじめまして。今回は
級数botさんの等式の証明をします。但し、元ツイートにはミスがあり、正しくは以下が成り立ちます。

$$ \int_0^\infty \frac{(1-\cos ax)\ln x}{x^2}dx=\frac{\pi a}2\left (1-\gamma -\ln a\right ) \quad (a>0) $$

証明

$|s|< 1$なる実数sに対して,
$$\displaystyle{f(s):=\int _{0}^{\infty }\frac {(1-\cos ax)x^s}{x^{2}}dx}$$
とします。部分積分により
$$ \begin{aligned} f(s)&=\left [-(1-\cos ax)x^{s-1}\right ]_0^\infty +\int _{0}^{\infty }\frac {ax^s\sin ax}xdx+\int _{0}^{\infty }\frac {s(1-\cos ax)x^{s-1}}xdx\\ &=a\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sin axdx+sf(s)\\ (1-s)f(s)&=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}a^{1-s}\sin tdt\\ f(s)&=\frac {a^{1-s}}{1-s}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\sin tdt\\ &=\frac {a^{1-s}}{1-s}\sin \frac {\pi s}2\Gamma (s)\\ \end{aligned} $$

最後の式変形においては$\sin t$のメリン変換
$$\displaystyle{ \mathcal{M}_t\left[\sin t\right](s)=\sin \frac{\pi s}2\Gamma(s) }$$
を利用しました。ここで、
$$ \Gamma '(1)=\Gamma(1)\psi(1)=-\gamma $$
ですから、$\Gamma(1+s)$のテイラー展開
$$\Gamma (1+s)=\Gamma (1)+\Gamma '(1)s+O(s^2) $$
の両辺をsで割ると
$$ \Gamma (s)=\frac {1}s-\gamma +O(s) $$
が成り立ちます。従って$\sin \frac{πs}2$のテイラー展開と合わせて
$$ \begin{aligned} \sin \frac {\pi s}2\Gamma (s)&=\left (\frac {\pi s}2+O(s^3)\right )\left (\frac {1}s-\gamma +O(s)\right )\\ &=\frac {\pi }2-\frac {\gamma \pi }2s+O(s^2) \end{aligned}$$
なので、
$$ f'(s)=\frac {-(1-s)a^{1-s}\ln a+a^{1-s}}{(1-s)^{2}}\sin \frac {\pi s}2\Gamma (s)+\frac {a^{1-s}}{1-s}\left (-\frac {\pi \gamma }2+O(s)\right ) $$
となります。さて、最初の積分の被積分関数は、
$$ f'(s)=\int _{0}^{\infty }\frac {(1-\cos ax)x^{s}\ln x}{x^{2}}dx $$
の被積分関数を$s\to 0$としたものですから、
$$ \begin{aligned} \int _{0}^{\infty }\frac {(1-\cos ax)\ln x}{x^{2}}dx &=\int _{0}^{\infty }\left (\lim _{s\to 0}\frac {x^s(1-\cos ax)\ln x}{x^{2}}\right )dx\\ &=\lim_{s \to 0}\int _{0}^{\infty }\frac {x^s(1-\cos ax)\ln x}{x^{2}}dx\\ &=\lim_{s \to 0}\int _{0}^{\infty }\left (\frac {\partial }{\partial s}\frac {(1-\cos ax)x^s}{x^{2}}\right )dx\\ &=\lim _{s\to 0}f'(s)\\ &=\left (-a\ln a+a\right )\frac {\pi }2-\frac {a\gamma \pi }2\\ &=\textcolor {blue}{\frac {\pi a}2\left (1-\gamma -\ln a\right )}. \end{aligned} $$
以上で証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。

投稿日:20211027

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