積分1
はじめまして。今回は
級数botさんの等式の証明をします。但し、元ツイートにはミスがあり、正しくは以下が成り立ちます。
証明
$|s|< 1$なる実数sに対して,
$$\displaystyle{f(s):=\int _{0}^{\infty }\frac {(1-\cos ax)x^s}{x^{2}}dx}$$
とします。部分積分により
$$
\begin{aligned}
f(s)&=\left [-(1-\cos ax)x^{s-1}\right ]_0^\infty
+\int _{0}^{\infty }\frac {ax^s\sin ax}xdx+\int _{0}^{\infty }\frac {s(1-\cos ax)x^{s-1}}xdx\\
&=a\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sin axdx+sf(s)\\
(1-s)f(s)&=\int _{0}^{\infty }t^{b-1}a^{1-s}\sin tdt\\
f(s)&=\frac {a^{1-s}}{1-s}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\sin tdt\\
&=\frac {a^{1-s}}{1-s}\sin \frac {\pi s}2\Gamma (s)\\
\end{aligned}
$$
最後の式変形においては$\sin t$のメリン変換
$$\displaystyle{
\mathcal{M}_t\left[\sin t\right](s)=\sin \frac{\pi s}2\Gamma(s)
}$$
を利用しました。ここで、
$$
\Gamma '(1)=\Gamma(1)\psi(1)=-\gamma
$$
ですから、$\Gamma(1+s)$のテイラー展開
$$\Gamma (1+s)=\Gamma (1)+\Gamma '(1)s+O(s^2)
$$
の両辺をsで割ると
$$
\Gamma (s)=\frac {1}s-\gamma +O(s)
$$
が成り立ちます。従って$\sin \frac{πs}2$のテイラー展開と合わせて
$$
\begin{aligned}
\sin \frac {\pi s}2\Gamma (s)&=\left (\frac {\pi s}2+O(s^3)\right )\left (\frac {1}s-\gamma +O(s)\right )\\
&=\frac {\pi }2-\frac {\gamma \pi }2s+O(s^2)
\end{aligned}$$
なので、
$$
f'(s)=\frac {-(1-s)a^{1-s}\ln a+a^{1-s}}{(1-s)^{2}}\sin \frac {\pi s}2\Gamma (s)+\frac {a^{1-s}}{1-s}\left (-\frac {\pi \gamma }2+O(s)\right )
$$
となります。さて、最初の積分の被積分関数は、
$$
f'(s)=\int _{0}^{\infty }\frac {(1-\cos ax)x^{s}\ln x}{x^{2}}dx
$$
の被積分関数を$s\to 0$としたものですから、
$$
\begin{aligned}
\int _{0}^{\infty }\frac {(1-\cos ax)\ln x}{x^{2}}dx
&=\int _{0}^{\infty }\left (\lim _{s\to 0}\frac {x^s(1-\cos ax)\ln x}{x^{2}}\right )dx\\
&=\lim_{s \to 0}\int _{0}^{\infty }\frac {x^s(1-\cos ax)\ln x}{x^{2}}dx\\
&=\lim_{s \to 0}\int _{0}^{\infty }\left (\frac {\partial }{\partial s}\frac {(1-\cos ax)x^s}{x^{2}}\right )dx\\
&=\lim _{s\to 0}f'(s)\\
&=\left (-a\ln a+a\right )\frac {\pi }2-\frac {a\gamma \pi }2\\
&=\textcolor {blue}{\frac {\pi a}2\left (1-\gamma -\ln a\right )}.
\end{aligned}
$$
以上で証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。
