級数解説01

以下の和について考えてみます。

${\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^m}$
($(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ は二項係数を表します。)

$$\begin{gathered} {\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^m} \\ ={\displaystyle {{\left(\frac{d}{dx}\right)}^m\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e^{kx}|}_{x=0}} \\ ={\displaystyle {{\left(\frac{d}{dx}\right)}^m(e^x-1{)}^n|}_{x=0}} \end{gathered}$$

ここで、$e^x-1$をマクローリン展開すると${\displaystyle x\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{(n+1)!}}$となるので、

$$\begin{gathered} {\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^m} \\ ={\displaystyle {{\left(\frac{d}{dx}\right)}^m{x}^n\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{(k+1)!}\right)|}_{x=0}} \end{gathered}$$

従って、
$$\begin{gathered} {\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^n=n!} \\ {\displaystyle \sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k^m=0(m<n)} \end{gathered}$$

一般化してみます。

先ほどの証明において$(e^x-1{)}^n$の部分を${\displaystyle e^{a_{0}x}(e^{a_{1}x}-1)(e^{a_{2}x}-1)...(e^{a_{n}x}-1)}$に変えてみるとこのようになります。

${\displaystyle \sum _{e_1,e_2,...,e_n\in \{0,1\}}(-1{)}^{e_1+e_2+...+e_n}(a_0+e_1{a}_1+...+e_n{a}_n{)}^n=n!a_1{a}_2...a_n}$

これは負位数の多重ゼータ関数の特殊値になっています。