級数解説01

以下の和について考えてみます。

$\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^m$
($\binom{n}{k}$ は二項係数を表します。)

$\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^m \\=\displaystyle\left.\left(\frac{d}{dx}\right)^m\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}e^{kx}\right|_{x=0} \\=\displaystyle\left.\left(\frac{d}{dx}\right)^m(e^x-1)^n\right|_{x=0}$

ここで、$e^x-1$をマクローリン展開すると$\displaystyle x\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{(n+1)!}$となるので、

$\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^m \\=\displaystyle\left.\left(\frac{d}{dx}\right)^{m}x^n\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{(k+1)!}\right)\right|_{x=0}$

従って、
$\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^n=n! \\\displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom{n}{k}k^m=0\ (m< n)$

一般化してみます。

先ほどの証明において$(e^x-1)^n$の部分を$\displaystyle e^{a_0x}(e^{a_1x}-1)(e^{a_2x}-1)...(e^{a_nx}-1)$に変えてみるとこのようになります。

$\displaystyle\sum_{e_1,e_2,...,e_n\in\{0,1\}}(-1)^{e_1+e _2+...+e_n}(a_0+e_1a_1+...+e_na_n)^n=n!a_1a_2...a_n$

これは負位数の多重ゼータ関数の特殊値になっています。