複素積分1
今回は、積分botさんの積分を複素積分を使って解きます。
証明
求める積分を$I$と置きます。部分積分と偶関数の性質より、
$$
\begin {aligned}
I&=\int _{0}^{\infty }\sin x\tan ^{-1}\frac {1}xdx\\
&=\left [-\cos x\tan ^{-1}\frac {1}x\right ]_0^{\infty }-\int _{0}^{\infty }\frac {\cos x}{1+x^{2}}dx\\
&=\frac {\pi }2-\frac {1}2\underbrace{\int _{-\infty }^{\infty }\frac {\cos x}{1+x^{2}}dx}_{J}\\
\end{aligned}$$
ここで、奇関数の性質などから
$$
\int _{-\infty }^{\infty }\frac {\sin x}{1+x^{2}}dx=0
$$
なので、
$$
\begin {aligned}
J&=
\int _{-\infty }^{\infty }\frac {\cos x +i\sin x}{1+x^{2}}dx \\
&=\int _{-\infty }^{\infty }\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}dx
\end {aligned}
$$
です。さて、複素関数$f(z)$を、$$
f(z):=\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}
$$
とします。また$R \in \mathbb R_{>1}$とし、次のような半円状の積分経路を考えます。
$$
\begin {aligned}
L&:z=x\quad (x:-R\to R)\\
C&:z=Re^{i\theta }\quad (\theta :0\to \pi )
\end {aligned}
$$
経路内の極は、$z=i$に一位の極で、
$$
\res{z=i}f(z)=\lim _{z\to i}\frac {(z-i)e^{iz}}{(z-i)(z+i)}=\frac {e^{-1}}{2i}
$$
です。また、経路$C$の積分は、
$$
\begin {aligned}
\left |\int _{C}f(z)dz\right |
&=\left |\int _{0}^{\pi }\frac {e^{iRe^{i\theta }}}{1+R^2e^{2i\theta }}\cdot Rie^{i\theta }d\theta \right |\\
&\leq \int _{0}^{\pi }\left |\frac {e^{iRe^{i\theta }}Rie^{i\theta }}{1+R^2e^{2i\theta }}\right |\left |d\theta \right |\\
&\leq \int _{0}^{\pi }\left |\frac {e^{iR\cos \theta -R\sin \theta }R}{R^2-1}\right |d\theta \\
&=\frac {R}{R^2-1}\int _{0}^\pi e^{-R\sin \theta }d\theta \\
&\leq \frac {R}{R^2-1}\int _{0}^{\pi }e^{-\sin \theta }d\theta \\
&\to 0\quad (R\to \infty)
\end {aligned}
$$
なので
$$
\begin {aligned}
J&=\lim _{R\to \infty }\int _Lf(z)dz\\
&=\lim _{R\to \infty }\int _{L+C}f(z)dz\\
&=2\pi i \res{z=i}f(z)\quad (\because 留数定理)\\
&=\frac {\pi }e
\end {aligned}
$$
であることが分かります。以上より、
$$\begin{aligned}
I&=\frac {\pi }2-\frac {1}2J\\
&=\color{blue}{\frac {\pi }2\left (1-\frac1e\right)}.
\end {aligned}
$$
これで証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。