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複素積分1

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$$\newcommand{res}[1]{\underset{#1}{\operatorname{Res}}} $$

今回は、積分botさんの積分を複素積分を使って解きます。

$$ \int_0^\infty \sin x \tan ^{-1}\frac1xdx=\frac{\pi }2\left (1-\frac1e\right ) $$

証明

求める積分を$I$と置きます。部分積分と偶関数の性質より、
$$ \begin {aligned} I&=\int _{0}^{\infty }\sin x\tan ^{-1}\frac {1}xdx\\ &=\left [-\cos x\tan ^{-1}\frac {1}x\right ]_0^{\infty }-\int _{0}^{\infty }\frac {\cos x}{1+x^{2}}dx\\ &=\frac {\pi }2-\frac {1}2\underbrace{\int _{-\infty }^{\infty }\frac {\cos x}{1+x^{2}}dx}_{J}\\ \end{aligned}$$
ここで、奇関数の性質などから
$$ \int _{-\infty }^{\infty }\frac {\sin x}{1+x^{2}}dx=0 $$
なので、
$$ \begin {aligned} J&= \int _{-\infty }^{\infty }\frac {\cos x +i\sin x}{1+x^{2}}dx \\ &=\int _{-\infty }^{\infty }\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}dx \end {aligned} $$
です。さて、複素関数$f(z)$を、$$ f(z):=\frac {e^{iz}}{1+z^{2}} $$
とします。また$R \in \mathbb R_{>1}$とし、次のような半円状の積分経路を考えます。

$$ \begin {aligned} L&:z=x\quad (x:-R\to R)\\ C&:z=Re^{i\theta }\quad (\theta :0\to \pi ) \end {aligned} $$
経路内の極は、$z=i$に一位の極で、
$$ \res{z=i}f(z)=\lim _{z\to i}\frac {(z-i)e^{iz}}{(z-i)(z+i)}=\frac {e^{-1}}{2i} $$
です。また、経路$C$の積分は、
$$ \begin {aligned} \left |\int _{C}f(z)dz\right | &=\left |\int _{0}^{\pi }\frac {e^{iRe^{i\theta }}}{1+R^2e^{2i\theta }}\cdot Rie^{i\theta }d\theta \right |\\ &\leq \int _{0}^{\pi }\left |\frac {e^{iRe^{i\theta }}Rie^{i\theta }}{1+R^2e^{2i\theta }}\right |\left |d\theta \right |\\ &\leq \int _{0}^{\pi }\left |\frac {e^{iR\cos \theta -R\sin \theta }R}{R^2-1}\right |d\theta \\ &=\frac {R}{R^2-1}\int _{0}^\pi e^{-R\sin \theta }d\theta \\ &\leq \frac {R}{R^2-1}\int _{0}^{\pi }e^{-\sin \theta }d\theta \\ &\to 0\quad (R\to \infty) \end {aligned} $$
なので
$$ \begin {aligned} J&=\lim _{R\to \infty }\int _Lf(z)dz\\ &=\lim _{R\to \infty }\int _{L+C}f(z)dz\\ &=2\pi i \res{z=i}f(z)\quad (\because 留数定理)\\ &=\frac {\pi }e \end {aligned} $$
であることが分かります。以上より、

$$\begin{aligned} I&=\frac {\pi }2-\frac {1}2J\\ &=\color{blue}{\frac {\pi }2\left (1-\frac1e\right)}. \end {aligned} $$
これで証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。

投稿日:20211028

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