複素積分1

今回は、積分botさんの積分を複素積分を使って解きます。

証明

求める積分を$I$と置きます。部分積分と偶関数の性質より、
$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\sin x{\tan }^{-1}\frac{1}{x}dx\\ & ={[-\cos x{\tan }^{-1}\frac{1}{x}]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{1+x^2}dx\\ & =\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\underset{J}{\underbrace{{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x}{1+x^2}dx}}\end{array}$$
ここで、奇関数の性質などから
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{1+x^2}dx=0$$
なので、
$$\begin{array}{rl}J& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos x+i\sin x}{1+x^2}dx\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx\end{array}$$
です。さて、複素関数$f(z)$を、$$f(z):=\frac{e^{iz}}{1+z^2}$$
とします。また$R\in {\mathbb{R}}_{>1}$とし、次のような半円状の積分経路を考えます。

$$\begin{array}{rl}L& :z=x(x:-R\to R)\\ C& :z=R{e}^{i\theta }(\theta :0\to \pi )\end{array}$$
経路内の極は、$z=i$に一位の極で、
$$\underset{z=i}{\mathrm{Res}}f(z)=\underset{z\to i}{lim}\frac{(z-i)e^{iz}}{(z-i)(z+i)}=\frac{e^{-1}}{2i}$$
です。また、経路$C$の積分は、
$$\begin{array}{rl}|{\int }_{C}f(z)dz|& =|{\int }_0^{\pi }\frac{e^{iR{e}^{i\theta }}}{1+R^2{e}^{2i\theta }}\cdot Ri{e}^{i\theta }d\theta |\\ & \le {\int }_0^{\pi }\left|\frac{e^{iR{e}^{i\theta }}Ri{e}^{i\theta }}{1+R^2{e}^{2i\theta }}\right|\left|d\theta \right|\\ & \le {\int }_0^{\pi }\left|\frac{e^{iR\cos \theta -R\sin \theta }R}{R^2-1}\right|d\theta \\ & =\frac{R}{R^2-1}{\int }_0^{\pi }{e}^{-R\sin \theta }d\theta \\ & \le \frac{R}{R^2-1}{\int }_0^{\pi }{e}^{-\sin \theta }d\theta \\ & \to 0(R\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
なので
$$\begin{array}{rl}J& =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{L}f(z)dz\\ & =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{L+C}f(z)dz\\ & =2\pi i\underset{z=i}{\mathrm{Res}}f(z)(\because 留数定理)\\ & =\frac{\pi }{e}\end{array}$$
であることが分かります。以上より、

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}J\\ & =\frac{\pi }{2}(1-\frac{1}{e}).\end{array}$$
これで証明は終わりです。最後まで読んでくださりありがとうございました。